Упр.121 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Задача

а) x2+1+|x-1|=2|x|;
б) x2+1+|x+1|=2|x|.

Подробный ответ

Рассмотрим уравнение
$$x^2+1+|x-1|=2|x|.$$
Точки смены знака модулей: $$x=0$$ и $$x=1$$. Поэтому разбиваем ось на промежутки $$(-\infty;0)$$, $$[0;1]$$, $$[1;+\infty)$$.
1) $$x\in(-\infty;0)$$
$$|x|=-x,\quad |x-1|=1-x.$$
Тогда
$$x^2+1+1-x=-2x,$$
$$x^2-x+2=0.$$
$$D=(-1)^2-4\cdot1\cdot2=1-8=-7<0,$$
значит, решений на этом промежутке нет.
2) $$x\in[0;1]$$
$$|x|=x,\quad |x-1|=1-x.$$
Тогда
$$x^2+1+1-x=2x,$$
$$x^2-3x+2=0,$$
$$ (x-1)(x-2)=0.$$
Из промежутка $$[0;1]$$ подходит только $$x=1$$.
3) $$x\in[1;+\infty)$$
$$|x|=x,\quad |x-1|=x-1.$$
Тогда
$$x^2+1+x-1=2x,$$
$$x^2-x=0,$$
$$x(x-1)=0.$$
Из этого промежутка подходит только $$x=1$$.
Рассмотрим уравнение
$$x^2+1+|x+1|=2|x|.$$
Точки смены знака модулей: $$x=-1$$ и $$x=0$$. Разбиваем ось на промежутки $$(-\infty;-1]$$, $$(-1;0)$$, $$[0;+\infty)$$.
1) $$x\in(-\infty;-1]$$
$$|x|=-x,\quad |x+1|=-(x+1).$$
Тогда
$$x^2+1-(x+1)=-2x,$$
$$x^2+x=0,$$
$$x(x+1)=0.$$
Подходят оба корня: $$x=-1$$ и $$x=0$$, но на данном промежутке лежит только $$x=-1$$.
2) $$x\in(-1;0)$$
$$|x|=-x,\quad |x+1|=x+1.$$
Тогда
$$x^2+1+x+1=-2x,$$
$$x^2+3x+2=0,$$
$$ (x+1)(x+2)=0.$$
Корни $$x=-1$$ и $$x=-2$$ не принадлежат промежутку $$(-1;0)$$.
3) $$x\in[0;+\infty)$$
$$|x|=x,\quad |x+1|=x+1.$$
Тогда
$$x^2+1+x+1=2x,$$
$$x^2-x+2=0.$$
$$D=1-8=-7<0,$$
значит, решений нет.