Упр.120 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Задача

б) |16 — x| = x2 — 256;
в) |19 — x| = x2 — 361;
г) |17 — x| = x2 — 289.

Подробный ответ

а) $$|14-x|=x^2-196$$
Так как $$x^2-196=(x-14)(x+14),$$ рассмотрим случаи.
1) Если $$14-x\ge 0,$$ то $$|14-x|=14-x,$$ и получаем
$$14-x=x^2-196$$
$$x^2+x-210=0$$
$$D=1+840=841,\quad x_{1,2}=\frac{-1\pm 29}{2}$$
$$x_1=14,\quad x_2=-15.$$
С учётом условия $$x\le 14$$ подходит только $$x=-15.$$
2) Если $$14-x<0,$$ то $$|14-x|=x-14,$$ и
$$x-14=x^2-196$$
$$x^2-x-182=0$$
$$D=1+728=729,\quad x_{1,2}=\frac{1\pm 27}{2}$$
$$x_1=14,\quad x_2=-13.$$
С учётом условия $$x>14$$ подходит только $$x=14,$$ но оно не удовлетворяет строгому неравенству, значит решений здесь нет.
Итак, $$x=-15.$$
б) $$|16-x|=x^2-256$$
1) Если $$16-x\ge 0,$$ то
$$16-x=x^2-256$$
$$x^2+x-272=0$$
$$D=1+1088=1089,\quad x_{1,2}=\frac{-1\pm 33}{2}$$
$$x_1=16,\quad x_2=-17.$$
С учётом условия $$x\le 16$$ подходит $$x=-17.$$
2) Если $$16-x<0,$$ то
$$x-16=x^2-256$$
$$x^2-x-240=0$$
$$D=1+960=961,\quad x_{1,2}=\frac{1\pm 31}{2}$$
$$x_1=16,\quad x_2=-15.$$
С учётом условия $$x>16$$ решений нет.
Итак, $$x=-17.$$
в) $$|19-x|=x^2-361$$
1) Если $$19-x\ge 0,$$ то
$$19-x=x^2-361$$
$$x^2+x-380=0$$
$$D=1+1520=1521,\quad x_{1,2}=\frac{-1\pm 39}{2}$$
$$x_1=19,\quad x_2=-20.$$
С учётом условия $$x\le 19$$ подходит $$x=-20.$$
2) Если $$19-x<0,$$ то
$$x-19=x^2-361$$
$$x^2-x-342=0$$
$$D=1+1368=1369,\quad x_{1,2}=\frac{1\pm 37}{2}$$
$$x_1=19,\quad x_2=-18.$$
С учётом условия $$x>19$$ решений нет.
Итак, $$x=-20.$$
г) $$|17-x|=x^2-289$$
1) Если $$17-x\ge 0,$$ то
$$17-x=x^2-289$$
$$x^2+x-306=0$$
$$D=1+1224=1225,\quad x_{1,2}=\frac{-1\pm 35}{2}$$
$$x_1=17,\quad x_2=-18.$$
С учётом условия $$x\le 17$$ подходит $$x=-18.$$
2) Если $$17-x<0,$$ то
$$x-17=x^2-289$$
$$x^2-x-272=0$$
$$D=1+1088=1089,\quad x_{1,2}=\frac{1\pm 33}{2}$$
$$x_1=17,\quad x_2=-16.$$
С учётом условия $$x>17$$ решений нет.
Итак, $$x=-18.$$