Упр.12.9 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

1. Решите уравнение:
   а) $$\left|\sin x-\frac{1}{2}\right|+\left|\cos x-\frac{\sqrt{3}}{2}\right|=\sin x+\cos x-\frac{1+\sqrt{3}}{2}$$;
   б) $$\left|\sin x-\frac{1}{2}\right|+\left|\sin x-\frac{\sqrt{3}}{2}\right|=\frac{\sqrt{3}-1}{2}$$;
   в) $$|2x-4|+|4-\sqrt{x}|=2x-\sqrt{x}$$;
   г) $$|\log_3(x)-2|+|x^2-11x+18|=\log_3(x)-x^2+11x-20$$.

а) Обозначим $$f(x)=\sin x-\frac12,\qquad g(x)=\cos x-\frac{\sqrt3}{2}.$$

Тогда уравнение имеет вид $$|f(x)|+|g(x)|=f(x)+g(x).$$ Это возможно только при $$f(x)\ge 0,\qquad g(x)\ge 0.$$

Получаем систему:

$$\begin{cases} \sin x\ge \frac12,\\ \cos x\ge \frac{\sqrt3}{2}. \end{cases}$$

Решения неравенств:

$$\sin x\ge \frac12 \;\Rightarrow\; x\in\left[\frac{\pi}{6}+2\pi k;\frac{5\pi}{6}+2\pi k\right],\ k\in\mathbb Z,$$

$$\cos x\ge \frac{\sqrt3}{2} \;\Rightarrow\; x\in\left[-\frac{\pi}{6}+2\pi k;\frac{\pi}{6}+2\pi k\right],\ k\in\mathbb Z.$$

Пересечение этих множеств:

$$x=\frac{\pi}{6}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

б) Пусть

$$f(x)=\sin x-\frac12,\qquad g(x)=\sin x-\frac{\sqrt3}{2}.$$

Тогда

$$|f(x)|+|g(x)|=\frac{\sqrt3-1}{2}.$$

Заметим, что

$$\frac{\sqrt3-1}{2}=\frac{\sqrt3}{2}-\frac12.$$

Если $$\sin x\in\left[\frac12;\frac{\sqrt3}{2}\right],$$ то

$$|f(x)|+|g(x)|=\left(\sin x-\frac12\right)+\left(\frac{\sqrt3}{2}-\sin x\right)=\frac{\sqrt3-1}{2}.$$

Значит, нужно и достаточно, чтобы

$$\frac12\le \sin x\le \frac{\sqrt3}{2}.$$

Отсюда

$$x\in\left[\frac{\pi}{6}+2\pi k;\frac{\pi}{3}+2\pi k\right],\quad k\in\mathbb Z.$$

в) Область определения: $$x\ge 0.$$

Положим $$t=\sqrt{x}.$$ Тогда $$x=t^2,$$ и уравнение перепишется так:

$$|2t^2-4|+|4-t|=2t^2-t.$$

Заметим, что правая часть равна сумме модулей только при выполнении условий

$$2t^2-4\ge 0,\qquad 4-t\ge 0.$$

То есть

$$t^2\ge 2,\qquad t\le 4.$$

С учётом $$t\ge 0$$ получаем

$$t\in[\sqrt2;4].$$

Возвращаясь к $$x$$, имеем

$$x=t^2\in[2;16].$$

г) Область определения: $$x>0.$$

Обозначим

$$f(x)=\log_3 x-2,\qquad g(x)=x^2-11x+18.$$

Тогда уравнение имеет вид

$$|f(x)|+|g(x)|=\log_3 x-x^2+11x-20.$$

Правая часть равна

$$f(x)-g(x).$$

Следовательно, нужно, чтобы

$$f(x)\ge 0,\qquad g(x)\le 0.$$

То есть

$$\log_3 x\ge 2,\qquad x^2-11x+18\le 0.$$

Решаем:

$$\log_3 x\ge 2 \;\Rightarrow\; x\ge 9,$$

$$x^2-11x+18=(x-2)(x-9)\le 0 \;\Rightarrow\; x\in[2;9].$$

Пересечение:

$$x=9.$$

Ответ

а) $$x=\frac{\pi}{6}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z.$$

б) $$x\in\left[\frac{\pi}{6}+2\pi k;\frac{\pi}{3}+2\pi k\right],\ k\in\mathbb Z.$$

в) $$x\in[2;16].$$

г) $$x=9.$$