Упр.12.8 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Задача

система
f(x) > =0
g(x) > =0.

Подробный ответ

Докажем равносильность уравнения $$|f(x)|+|g(x)|=f(x)+g(x)$$ системе

$$ \begin{cases} f(x)\ge 0,\\ g(x)\ge 0. \end{cases} $$

Пусть $$x_0$$ — решение уравнения $$|f(x)|+|g(x)|=f(x)+g(x).$$ Тогда

$$|f(x_0)|+|g(x_0)|=f(x_0)+g(x_0).$$

Так как для любого числа $$|a|\ge a,$$ то равенство $$|f(x_0)|=f(x_0)$$ возможно только при $$f(x_0)\ge 0,$$ а равенство $$|g(x_0)|=g(x_0)$$ — только при $$g(x_0)\ge 0.$$ Значит,

$$ \begin{cases} f(x_0)\ge 0,\\ g(x_0)\ge 0. \end{cases} $$

Следовательно, каждое решение уравнения является решением этой системы.

Докажем обратное. Пусть $$x_1$$ — решение системы

$$ \begin{cases} f(x)\ge 0,\\ g(x)\ge 0. \end{cases} $$

Тогда $$|f(x_1)|=f(x_1)$$ и $$|g(x_1)|=g(x_1),$$ поэтому

$$|f(x_1)|+|g(x_1)|=f(x_1)+g(x_1).$$

Значит, каждое решение системы является решением уравнения.

Итак, уравнение $$|f(x)|+|g(x)|=f(x)+g(x)$$ равносильно системе

$$ \begin{cases} f(x)\ge 0,\\ g(x)\ge 0. \end{cases} $$