Упр.12.7 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

б) |27-3x| + |x-5| = 3x-x+14.

а) Рассмотрим уравнение $$|9-3^x|+|x-6|=3^x-x+9.$$

Найдём точки, в которых выражения под модулем обращаются в нуль:

$$9-3^x=0 \Rightarrow 3^x=9 \Rightarrow x=2,$$

$$x-6=0 \Rightarrow x=6.$$

Разобьём числовую ось на промежутки: $$(-\infty;2),\ [2;6],\ (6;+\infty).$$

1) На промежутке $$(-\infty;2)$$ имеем

$$|9-3^x|=9-3^x,\qquad |x-6|=-(x-6).$$

Тогда

$$9-3^x-x+6=3^x-x+9,$$

$$2\cdot 3^x=6,$$

$$3^x=3,\qquad x=1.$$

Корень $$x=1$$ принадлежит промежутку $$(-\infty;2).$$

2) На промежутке $$[2;6]$$ имеем

$$|9-3^x|=-9+3^x,\qquad |x-6|=-(x-6).$$

Тогда

$$-9+3^x-x+6=3^x-x+9,$$

$$-3=9,$$

что невозможно. Решений нет.

3) На промежутке $$ (6;+\infty) $$ имеем

$$|9-3^x|=-9+3^x,\qquad |x-6|=x-6.$$

Тогда

$$-9+3^x+x-6=3^x-x+9,$$

$$2x=24,$$

$$x=12.$$

Корень $$x=12$$ принадлежит промежутку $$(6;+\infty).$$

б) Рассмотрим уравнение $$|27-3^x|+|x-5|=3^x-x+14.$$

Найдём точки, в которых выражения под модулем обращаются в нуль:

$$27-3^x=0 \Rightarrow 3^x=27 \Rightarrow x=3,$$

$$x-5=0 \Rightarrow x=5.$$

Разобьём числовую ось на промежутки: $$(-\infty;3],\ (3;5],\ (5;+\infty).$$

1) На промежутке $$(-\infty;3]$$ имеем

$$|27-3^x|=27-3^x,\qquad |x-5|=-(x-5).$$

Тогда

$$27-3^x-x+5=3^x-x+14,$$

$$2\cdot 3^x=18,$$

$$3^x=9,\qquad x=2.$$

Корень $$x=2$$ принадлежит промежутку $$(-\infty;3].$$

2) На промежутке $$(3;5]$$ имеем

$$|27-3^x|=-(27-3^x),\qquad |x-5|=-(x-5).$$

Тогда

$$-27+3^x-x+5=3^x-x+14,$$

$$-22=14,$$

что невозможно. Решений нет.

3) На промежутке $$(5;+\infty)$$ имеем

$$|27-3^x|=-(27-3^x),\qquad |x-5|=x-5.$$

Тогда

$$-27+3^x+x-5=3^x-x+14,$$

$$2x=46,$$

$$x=23.$$

Корень $$x=23$$ принадлежит промежутку $$(5;+\infty).$$

Ответ

а) $$1,\ 12$$; б) $$2,\ 23$$.