Упр.12.6 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим уравнение

$$\frac{|x+1|}{x+1}+\frac{|x+3|}{x+3}=0.$$

Область определения: $$x\neq -1,\; x\neq -3.$$

Разобьём числовую ось точками $$-3$$ и $$-1$$ на промежутки.

1. Если $$x\in(-\infty;-3),$$ то $$x+1<0$$ и $$x+3<0,$$ значит

   $$\frac{|x+1|}{x+1}=-1,\qquad \frac{|x+3|}{x+3}=-1.$$

   Тогда

   $$-1+(-1)=-2\neq 0,$$

   решений нет.

2. Если $$x\in(-3;-1),$$ то $$x+1<0,$$ а $$x+3>0,$$ значит

   $$\frac{|x+1|}{x+1}=-1,\qquad \frac{|x+3|}{x+3}=1.$$

   Тогда

   $$-1+1=0.$$

   Следовательно, каждое число из промежутка $$(-3;-1)$$ является решением.

3. Если $$x\in(-1;+\infty),$$ то $$x+1>0$$ и $$x+3>0,$$ значит

   $$\frac{|x+1|}{x+1}=1,\qquad \frac{|x+3|}{x+3}=1.$$

   Тогда

   $$1+1=2\neq 0,$$

   решений нет.

Итак, уравнение имеет бесконечно много решений: все числа из промежутка $$(-3;-1).$$

Ответ

$$(-3;-1)$$