Упр.12.4 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

б) |x2 — 2x — 2| = x2 — 4x + 6;
в) |х2 — 2х — 4| = х2 — 4х + 4;
г) |х2 — 4х + 2| = х2 — 6х + 10.

1. а) Так как $$x^2+2x+1=(x+1)^2\ge 0$$ при всех $$x\in \mathbb{R}$$, то можно возвести обе части в квадрат:

   $$ |x^2-x-1|=x^2+2x+1 $$

   $$ (x^2-x-1)^2=(x^2+2x+1)^2 $$

   $$ (x^2-x-1)^2-(x^2+2x+1)^2=0 $$

   $$ \bigl((x^2-x-1)-(x^2+2x+1)\bigr)\bigl((x^2-x-1)+(x^2+2x+1)\bigr)=0 $$

   $$ (-3x-2)(2x^2+x)=0 $$

   Отсюда

   $$ x=-\frac23,\quad x=0,\quad x=-\frac12. $$

2. б) Здесь $$x^2-4x+6>0$$ при всех $$x\in \mathbb{R}$$, поэтому

   $$ |x^2-2x-2|=x^2-4x+6 $$

   $$ (x^2-2x-2)^2=(x^2-4x+6)^2 $$

   $$ (x^2-2x-2)^2-(x^2-4x+6)^2=0 $$

   $$ \bigl((x^2-2x-2)-(x^2-4x+6)\bigr)\bigl((x^2-2x-2)+(x^2-4x+6)\bigr)=0 $$

   $$ (2x-8)(2x^2-6x+4)=0 $$

   $$ x=4 $$

   или

   $$ 2x^2-6x+4=0 $$

   $$ x^2-3x+2=0 $$

   $$ (x-1)(x-2)=0 $$

   $$ x=1,\quad x=2. $$

3. в) Так как $$x^2-4x+4=(x-2)^2\ge 0$$ при всех $$x\in \mathbb{R}$$, то

   $$ |x^2-2x-4|=x^2-4x+4 $$

   $$ (x^2-2x-4)^2=(x^2-4x+4)^2 $$

   $$ (x^2-2x-4)^2-(x^2-4x+4)^2=0 $$

   $$ \bigl((x^2-2x-4)-(x^2-4x+4)\bigr)\bigl((x^2-2x-4)+(x^2-4x+4)\bigr)=0 $$

   $$ (2x-8)(2x^2-6x)=0 $$

   $$ x=4 $$

   или

   $$ 2x^2-6x=0 $$

   $$ 2x(x-3)=0 $$

   $$ x=0,\quad x=3. $$

4. г) Здесь $$x^2-6x+10>0$$ при всех $$x\in \mathbb{R}$$, поэтому

   $$ |x^2-4x+2|=x^2-6x+10 $$

   $$ (x^2-4x+2)^2=(x^2-6x+10)^2 $$

   $$ (x^2-4x+2)^2-(x^2-6x+10)^2=0 $$

   $$ \bigl((x^2-4x+2)-(x^2-6x+10)\bigr)\bigl((x^2-4x+2)+(x^2-6x+10)\bigr)=0 $$

   $$ (2x-8)(2x^2-10x+12)=0 $$

   $$ x=4 $$

   или

   $$ 2x^2-10x+12=0 $$

   $$ x^2-5x+6=0 $$

   $$ (x-2)(x-3)=0 $$

   $$ x=2,\quad x=3. $$

Ответ

а) $$x\in\left\{-\frac23;\,-\frac12;\,0\right\}$$; б) $$x\in\{1;\,2;\,4\}$$; в) $$x\in\{0;\,3;\,4\}$$; г) $$x\in\{2;\,3;\,4\}$$.