Упр.12.3 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
б) |x2+6x+7| = -x-3;
в) |x2-2x-2| = -x+4;
г) |x2-4x+1| = x+1.
а)
$$|x^2+4x+2|=x+2$$
Правая часть должна быть неотрицательной, значит
$$x+2\ge 0.$$
Рассмотрим два случая:
$$ \begin{cases} x^2+4x+2=x+2,\\ x+2\ge 0 \end{cases} \qquad \begin{cases} x^2+4x+2=-(x+2),\\ x+2\ge 0 \end{cases} $$
Получаем:
$$ \begin{cases} x^2+3x=0,\\ x\ge -2 \end{cases} \qquad \begin{cases} x^2+5x+4=0,\\ x\ge -2 \end{cases} $$
$$x(x+3)=0 \Rightarrow x=0 \text{ или } x=-3,$$
с учётом $$x\ge -2$$ подходит только $$x=0.$$
$$x^2+5x+4=(x+1)(x+4)=0 \Rightarrow x=-1 \text{ или } x=-4,$$
с учётом $$x\ge -2$$ подходит только $$x=-1.$$
Итак, $$x\in\{-1;0\}.$$
б)
$$|x^2+6x+7|=-x-3$$
Правая часть неотрицательна, значит
$$-x-3\ge 0,\quad x\le -3.$$
Рассмотрим два случая:
$$ \begin{cases} x^2+6x+7=-x-3,\\ x\le -3 \end{cases} \qquad \begin{cases} x^2+6x+7=x+3,\\ x\le -3 \end{cases} $$
Получаем:
$$ \begin{cases} x^2+7x+10=0,\\ x\le -3 \end{cases} \qquad \begin{cases} x^2+5x+4=0,\\ x\le -3 \end{cases} $$
$$x^2+7x+10=(x+5)(x+2)=0 \Rightarrow x=-5 \text{ или } x=-2,$$
с учётом $$x\le -3$$ подходит только $$x=-5.$$
$$x^2+5x+4=(x+1)(x+4)=0 \Rightarrow x=-1 \text{ или } x=-4,$$
с учётом $$x\le -3$$ подходит только $$x=-4.$$
Итак, $$x\in\{-5;-4\}.$$
в)
$$|x^2-2x-2|=-x+4$$
Правая часть неотрицательна, значит
$$-x+4\ge 0,\quad x\le 4.$$
Рассмотрим два случая:
$$ \begin{cases} x^2-2x-2=-x+4,\\ x\le 4 \end{cases} \qquad \begin{cases} x^2-2x-2=x-4,\\ x\le 4 \end{cases} $$
Получаем:
$$ \begin{cases} x^2-x-6=0,\\ x\le 4 \end{cases} \qquad \begin{cases} x^2-3x+2=0,\\ x\le 4 \end{cases} $$
$$x^2-x-6=(x-3)(x+2)=0 \Rightarrow x=3 \text{ или } x=-2,$$
оба корня подходят.
$$x^2-3x+2=(x-1)(x-2)=0 \Rightarrow x=1 \text{ или } x=2,$$
оба корня подходят.
Итак, $$x\in\{-2;1;2;3\}.$$
г)
$$|x^2-4x+1|=x+1$$
Правая часть неотрицательна, значит
$$x+1\ge 0,\quad x\ge -1.$$
Рассмотрим два случая:
$$ \begin{cases} x^2-4x+1=x+1,\\ x\ge -1 \end{cases} \qquad \begin{cases} x^2-4x+1=-(x+1),\\ x\ge -1 \end{cases} $$
Получаем:
$$ \begin{cases} x^2-5x=0,\\ x\ge -1 \end{cases} \qquad \begin{cases} x^2-3x+2=0,\\ x\ge -1 \end{cases} $$
$$x(x-5)=0 \Rightarrow x=0 \text{ или } x=5,$$
оба корня подходят.
$$x^2-3x+2=(x-1)(x-2)=0 \Rightarrow x=1 \text{ или } x=2,$$
оба корня подходят.
Итак, $$x\in\{0;1;2;5\}.$$
Ответ
а) $$x\in\{-1;0\}$$; б) $$x\in\{-5;-4\}$$; в) $$x\in\{-2;1;2;3\}$$; г) $$x\in\{0;1;2;5\}$$.
