Упр.12.12 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
б) |x+2|+|x+4| < 6;
в) |x+3|+|x-2| > 5;
г) |x+7|+|x+1| > 9.
а) Критические точки: $$x=-3,\; x=-1.$$
Рассмотрим промежутки:
1) $$x\in(-\infty;-3)$$
Тогда $$|x+1|=-(x+1),\quad |x+3|=-(x+3).$$
$$-(x+1)-(x+3)<8$$ $$-2x-4<8$$ $$-2x<12$$ $$x>-6.$$
С учётом промежутка получаем $$x\in(-6;-3).$$
2) $$x\in[-3;-1]$$
Тогда $$|x+1|=-(x+1),\quad |x+3|=x+3.$$
$$-(x+1)+(x+3)<8$$ $$2<8,$$
значит, подходят все $$x\in[-3;-1].$$
3) $$x\in(-1;+\infty)$$
Тогда $$|x+1|=x+1,\quad |x+3|=x+3.$$
$$(x+1)+(x+3)<8$$ $$2x+4<8$$ $$2x<4$$ $$x<2.$$
С учётом промежутка получаем $$x\in(-1;2).$$
Объединяем:
$$x\in(-6;2).$$
б) Критические точки: $$x=-4,\; x=-2.$$
1) $$x\in(-\infty;-4)$$
$$|x+2|=-(x+2),\quad |x+4|=-(x+4)$$
$$-(x+2)-(x+4)<6$$ $$-2x-6<6$$ $$-2x<12$$ $$x>-6.$$Значит, $$x\in(-6;-4).$$
2) $$x\in[-4;-2]$$
$$|x+2|=-(x+2),\quad |x+4|=x+4$$
$$-(x+2)+(x+4)<6$$ $$2<6,$$поэтому $$x\in[-4;-2].$$
3) $$x\in(-2;+\infty)$$
$$|x+2|=x+2,\quad |x+4|=x+4$$
$$(x+2)+(x+4)<6$$ $$2x+6<6$$ $$2x<0$$ $$x<0.$$С учётом промежутка получаем $$x\in(-2;0).$$
Объединяем:
$$x\in(-6;0).$$
в) Критические точки: $$x=-3,\; x=2.$$
1) $$x\in(-\infty;-3)$$
$$|x+3|=-(x+3),\quad |x-2|=-(x-2)$$
$$-(x+3)- (x-2)>5$$
$$-2x-1>5$$
$$-2x>6$$
$$x<-3.$$Значит, $$x\in(-\infty;-3).$$
2) $$x\in[-3;2]$$
$$|x+3|=x+3,\quad |x-2|=-(x-2)$$
$$(x+3)+(-x+2)>5$$
$$5>5,$$решений нет.
3) $$x\in(-2;+\infty)$$
$$|x+3|=x+3,\quad |x-2|=x-2$$
$$(x+3)+(x-2)>5$$
$$2x+1>5$$
$$2x>4$$
$$x>2.$$Следовательно, $$x\in(2;+\infty).$$
Объединяем:
$$x\in(-\infty;-3)\cup(2;+\infty).$$
г) Критические точки: $$x=-7,\; x=-1.$$
1) $$x\in(-\infty;-7)$$
$$|x+7|=-(x+7),\quad |x+1|=-(x+1)$$
$$-(x+7)- (x+1)>9$$
$$-2x-8>9$$
$$-2x>17$$
$$x<-\frac{17}{2}.$$Значит, $$x\in\left(-\infty;-\frac{17}{2}\right).$$
2) $$x\in[-7;-1]$$
$$|x+7|=x+7,\quad |x+1|=-(x+1)$$
$$(x+7)+(-x-1)>9$$
$$6>9,$$решений нет.
3) $$x\in(-1;+\infty)$$
$$|x+7|=x+7,\quad |x+1|=x+1$$
$$(x+7)+(x+1)>9$$
$$2x+8>9$$
$$2x>1$$
$$x>\frac12.$$Следовательно, $$x\in\left(\frac12;+\infty\right).$$
Объединяем:
$$x\in\left(-\infty;-\frac{17}{2}\right)\cup\left(\frac12;+\infty\right).$$
Ответ
а) $$x\in(-6;2)$$; б) $$x\in(-6;0)$$; в) $$x\in(-\infty;-3)\cup(2;+\infty)$$; г) $$x\in\left(-\infty;-\frac{17}{2}\right)\cup\left(\frac12;+\infty\right).$$
