Упр.12.12 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

• а) $$|x+1|+|x+3|<8$$; б) $$|x+2|+|x+4|<6$$; в) $$|x+3|+|x-2|>5$$; г) $$|x+7|+|x+1|>9$$.

1. а) Критические точки: $$x=-3,\; x=-1.$$

   Рассмотрим промежутки:

   1) $$x\in(-\infty;-3)$$

   Тогда $$|x+1|=-(x+1),\quad |x+3|=-(x+3).$$

   $$-(x+1)-(x+3)<8$$ $$-2x-4<8$$ $$-2x<12$$ $$x>-6.$$

   С учётом промежутка получаем $$x\in(-6;-3).$$

   2) $$x\in[-3;-1]$$

   Тогда $$|x+1|=-(x+1),\quad |x+3|=x+3.$$

   $$-(x+1)+(x+3)<8$$ $$2<8,$$

   значит, подходят все $$x\in[-3;-1].$$

   3) $$x\in(-1;+\infty)$$

   Тогда $$|x+1|=x+1,\quad |x+3|=x+3.$$

   $$(x+1)+(x+3)<8$$ $$2x+4<8$$ $$2x<4$$ $$x<2.$$

   С учётом промежутка получаем $$x\in(-1;2).$$

   Объединяем:

   $$x\in(-6;2).$$

2. б) Критические точки: $$x=-4,\; x=-2.$$

   1) $$x\in(-\infty;-4)$$

   $$|x+2|=-(x+2),\quad |x+4|=-(x+4)$$
   $$-(x+2)-(x+4)<6$$ $$-2x-6<6$$ $$-2x<12$$ $$x>-6.$$

   Значит, $$x\in(-6;-4).$$

   2) $$x\in[-4;-2]$$

   $$|x+2|=-(x+2),\quad |x+4|=x+4$$
   $$-(x+2)+(x+4)<6$$ $$2<6,$$

   поэтому $$x\in[-4;-2].$$

   3) $$x\in(-2;+\infty)$$

   $$|x+2|=x+2,\quad |x+4|=x+4$$
   $$(x+2)+(x+4)<6$$ $$2x+6<6$$ $$2x<0$$ $$x<0.$$

   С учётом промежутка получаем $$x\in(-2;0).$$

   Объединяем:

   $$x\in(-6;0).$$

3. в) Критические точки: $$x=-3,\; x=2.$$

   1) $$x\in(-\infty;-3)$$

   $$|x+3|=-(x+3),\quad |x-2|=-(x-2)$$
   $$-(x+3)- (x-2)>5$$
   $$-2x-1>5$$
   $$-2x>6$$
   $$x<-3.$$

   Значит, $$x\in(-\infty;-3).$$

   2) $$x\in[-3;2]$$

   $$|x+3|=x+3,\quad |x-2|=-(x-2)$$
   $$(x+3)+(-x+2)>5$$
   $$5>5,$$

   решений нет.

   3) $$x\in(-2;+\infty)$$

   $$|x+3|=x+3,\quad |x-2|=x-2$$
   $$(x+3)+(x-2)>5$$
   $$2x+1>5$$
   $$2x>4$$
   $$x>2.$$

   Следовательно, $$x\in(2;+\infty).$$

   Объединяем:

   $$x\in(-\infty;-3)\cup(2;+\infty).$$

4. г) Критические точки: $$x=-7,\; x=-1.$$

   1) $$x\in(-\infty;-7)$$

   $$|x+7|=-(x+7),\quad |x+1|=-(x+1)$$
   $$-(x+7)- (x+1)>9$$
   $$-2x-8>9$$
   $$-2x>17$$
   $$x<-\frac{17}{2}.$$

   Значит, $$x\in\left(-\infty;-\frac{17}{2}\right).$$

   2) $$x\in[-7;-1]$$

   $$|x+7|=x+7,\quad |x+1|=-(x+1)$$
   $$(x+7)+(-x-1)>9$$
   $$6>9,$$

   решений нет.

   3) $$x\in(-1;+\infty)$$

   $$|x+7|=x+7,\quad |x+1|=x+1$$
   $$(x+7)+(x+1)>9$$
   $$2x+8>9$$
   $$2x>1$$
   $$x>\frac12.$$

   Следовательно, $$x\in\left(\frac12;+\infty\right).$$

   Объединяем:

   $$x\in\left(-\infty;-\frac{17}{2}\right)\cup\left(\frac12;+\infty\right).$$

Ответ

а) $$x\in(-6;2)$$; б) $$x\in(-6;0)$$; в) $$x\in(-\infty;-3)\cup(2;+\infty)$$; г) $$x\in\left(-\infty;-\frac{17}{2}\right)\cup\left(\frac12;+\infty\right).$$