Упр.12.2 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

• а) $$|x-1|=x^2-5x+4$$
• б) $$|x-2|=x^2-4x-2$$
• в) $$|x-3|=x^2-6x+3$$
• г) $$|x-4|=x^2-2x-2$$

1. а) Рассмотрим два случая:

   $$x-1 \ge 0,\quad |x-1|=x-1$$
   $$x-1=x^2-5x+4$$
   $$x^2-6x+5=0$$
   $$D=36-20=16$$
   $$x=\frac{6\pm 4}{2}$$
   $$x=1,\; x=5$$

   Проверка условия: оба корня подходят.

   $$x-1<0,\quad |x-1|=-x+1$$
   $$-x+1=x^2-5x+4$$
   $$x^2-4x+3=0$$
   $$D=16-12=4$$
   $$x=\frac{4\pm 2}{2}$$
   $$x=1,\; x=3$$

   С учётом условия $$x<1$$ корней нет.

2. б) Аналогично:

   $$x-2 \ge 0,\quad |x-2|=x-2$$
   $$x-2=x^2-4x-2$$
   $$x^2-5x=0$$
   $$x(x-5)=0$$
   $$x=0,\; x=5$$

   С учётом условия $$x\ge 2$$ подходит только $$x=5$$.

   $$x-2<0,\quad |x-2|=-x+2$$
   $$-x+2=x^2-4x-2$$
   $$x^2-3x-4=0$$
   $$D=9+16=25$$
   $$x=\frac{3\pm 5}{2}$$
   $$x=-1,\; x=4$$

   С учётом условия $$x<2$$ подходит только $$x=-1$$.

3. в)

   $$x-3 \ge 0,\quad |x-3|=x-3$$
   $$x-3=x^2-6x+3$$
   $$x^2-7x+6=0$$
   $$D=49-24=25$$
   $$x=\frac{7\pm 5}{2}$$
   $$x=1,\; x=6$$

   С учётом условия $$x\ge 3$$ подходит только $$x=6$$.

   $$x-3<0,\quad |x-3|=-x+3$$
   $$-x+3=x^2-6x+3$$
   $$x^2-5x=0$$
   $$x(x-5)=0$$
   $$x=0,\; x=5$$

   С учётом условия $$x<3$$ подходит только $$x=0$$.

4. г)

   $$x-4 \ge 0,\quad |x-4|=x-4$$
   $$x-4=x^2-2x-2$$
   $$x^2-3x+2=0$$
   $$D=9-8=1$$
   $$x=\frac{3\pm 1}{2}$$
   $$x=1,\; x=2$$

   С учётом условия $$x\ge 4$$ корней нет.

   $$x-4<0,\quad |x-4|=-x+4$$
   $$-x+4=x^2-2x-2$$
   $$x^2-x-6=0$$
   $$D=1+24=25$$
   $$x=\frac{1\pm 5}{2}$$
   $$x=-2,\; x=3$$

   С учётом условия $$x<4$$ подходят оба корня.

Ответ

а) $$x\in\{1;5\}$$
б) $$x\in\{-1;5\}$$
в) $$x\in\{0;6\}$$
г) $$x\in\{-2;3\}$$