Упр.12.17 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

1. Объясните на примере, в чем заключается метод интервалов для непрерывных функций.

Метод интервалов для непрерывной функции состоит в том, что:

1. находят нули функции и точки, где она не определена;
2. эти точки отмечают на числовой прямой, разбивая её на интервалы;
3. на каждом интервале определяют знак функции;
4. по знакам выбирают нужные интервалы.

Рассмотрим пример:

$$\frac{(x-3)(x+1)}{x\sqrt{x+5}}>0$$

Область определения:

$$x+5>0,\quad x\ne 0$$

Значит,

$$x>-5,\quad x\ne 0$$

Нули числителя:

$$x=-1,\quad x=3$$

Точки $$x=-5$$, $$x=-1$$, $$x=0$$, $$x=3$$ делят область определения на интервалы:

$$(-5;-1),\;(-1;0),\;(0;3),\;(3;+\infty)$$

Проверим знак выражения на каждом интервале:

$$f(-4)<0,\quad f(-0{,}5)>0,\quad f(1)<0,\quad f(5)>0$$

Нужно, чтобы дробь была положительной, поэтому берём интервалы, где $$f(x)>0$$:

$$(-1;0)\cup(3;+\infty)$$

Ответ

Метод интервалов заключается в разбиении области определения функции на промежутки точками, где функция равна нулю или не определена, и в определении знака функции на каждом промежутке. В данном примере решение неравенства:

$$(-1;0)\cup(3;+\infty)$$