Упр.12.16 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 12.16*

Рассмотрим неравенство

$$ (x+2)\cdot 2^{2-|x-2|}-x<(x+1)\cdot |2^x-1|+2^x+1. $$

Найдём точки, в которых меняются знаки выражений под модулем:

$$x-2=0 \Rightarrow x=2, \qquad 2^x-1=0 \Rightarrow x=0.$$

Разобьём числовую ось на промежутки: $$(-\infty;0), \ [0;2], \ (2;+\infty).$$

1) На промежутке $$(-\infty;0)$$

Здесь $$|x-2|=-(x-2), \quad |2^x-1|=-(2^x-1).$$

Тогда неравенство равносильно

$$ (x+2)\cdot 2^{2+x-2}-x<-(x+1)(2^x-1)+2^x+1, $$

то есть

$$ (x+2)2^x-x<-(x+1)2^x+x+1+2^x+1. $$

После преобразований получаем

$$ (x+1)(2^x-1)<0. $$

На промежутке $$(-\infty;0)$$ имеем $$2^x-1<0,$$ значит

$$x+1>0 \Rightarrow x>-1.$$

Следовательно, на этом промежутке решения: $$(-1;0).$$

2) На промежутке $$[0;2]$$

Здесь $$|x-2|=-(x-2), \quad |2^x-1|=2^x-1.$$

Тогда

$$ (x+2)\cdot 2^x-x<(x+1)(2^x-1)+2^x+1. $$

После упрощения получаем

$$ 0<0, $$

то есть решений нет.

3) На промежутке $$ (2;+\infty) $$

Здесь $$|x-2|=x-2, \quad |2^x-1|=2^x-1.$$

Тогда

$$ (x+2)\cdot 2^{2-(x-2)}-x<(x+1)(2^x-1)+2^x+1. $$

После преобразований получаем

$$ (x+2)(4^{2-x}-4^x)<0. $$

На промежутке $$ (2;+\infty) $$ имеем $$x+2>0$$ и $$4^{2-x}-4^x<0,$$ значит неравенство выполняется при всех $$x>2.$$

Объединяем найденные решения:

$$ x\in(-1;0)\cup(2;+\infty). $$

Ответ

$$x\in(-1;0)\cup(2;+\infty).$$