Упр.12.14 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 12.14

Подробный ответ

а) Рассмотрим точки, в которых выражения под модулем обращаются в нуль:
$$x-1=0,\quad x-2=0$$
$$x=1,\quad x=2$$
Разбиваем числовую ось на промежутки: $$(-\infty;1),\ (1;2),\ (2;+\infty).$$
1) На промежутке $$(-\infty;1)$$:
$$|x-1|=-(x-1),\quad |x-2|=-(x-2)$$
Тогда
$$\frac{|x-1|}{x-1}-\frac{|x-2|}{x-2}\ge 0 \;\Longrightarrow\; -1-(-1)\ge 0,$$
то есть решений нет.
2) На промежутке $$ (1;2) $$:
$$|x-1|=x-1,\quad |x-2|=-(x-2)$$
Тогда
$$\frac{|x-1|}{x-1}-\frac{|x-2|}{x-2}\ge 0 \;\Longrightarrow\; 1-(-1)\ge 0,$$
неравенство верно при любом $$x$$ из этого промежутка.
3) На промежутке $$ (2;+\infty) $$:
$$|x-1|=x-1,\quad |x-2|=x-2$$
Тогда
$$\frac{|x-1|}{x-1}-\frac{|x-2|}{x-2}\ge 0 \;\Longrightarrow\; 1-1\ge 0,$$
неравенство верно при любом $$x$$ из этого промежутка.
Следовательно,
$$x\in(1;2)\cup(2;+\infty).$$
б) Найдём нули выражений под модулем:
$$x-5=0,\quad x-6=0$$
$$x=5,\quad x=6$$
Разбиваем ось на промежутки: $$(-\infty;5),\ (5;6),\ (6;+\infty).$$
1) На промежутке $$(-\infty;5)$$:
$$|x-5|=-(x-5),\quad |x-6|=-(x-6)$$
Тогда
$$\frac{|x-5|}{x-5}-\frac{|x-6|}{x-6}\ge 2 \;\Longrightarrow\; -1-(-1)\ge 2,$$
решений нет.
2) На промежутке $$ (5;6) $$:
$$|x-5|=x-5,\quad |x-6|=-(x-6)$$
Тогда
$$\frac{|x-5|}{x-5}-\frac{|x-6|}{x-6}\ge 2 \;\Longrightarrow\; 1-(-1)\ge 2,$$
неравенство верно при любом $$x$$ из этого промежутка.
3) На промежутке $$ (6;+\infty) $$:
$$|x-5|=x-5,\quad |x-6|=x-6$$
Тогда
$$\frac{|x-5|}{x-5}-\frac{|x-6|}{x-6}\ge 2 \;\Longrightarrow\; 1-1\ge 2,$$
решений нет.
Следовательно,
$$x\in(5;6).$$
в) Найдём точки разбиения:
$$x-2=0,\quad x-3=0,\quad x-5=0$$
$$x=2,\quad x=3,\quad x=5$$
Рассмотрим промежутки: $$(-\infty;2),\ (2;3),\ [3;5],\ (5;+\infty).$$
1) На промежутке $$(-\infty;2)$$ знаменатель обращается в нуль, поэтому решений нет.
2) На промежутке $$ (2;3) $$:
$$|x-5|=-(x-5),\quad |x-3|=-(x-3),\quad |x-2|=x-2$$
Тогда
$$\frac{|x-5|+|x-3|}{|x-2|+|x-2|}\ge 0 \;\Longrightarrow\; \frac{2}{2x-4}\ge 0,$$
а так как $$2x-4>0$$ на этом промежутке, получаем, что неравенство верно при всех $$x\in(2;3).$$
3) На промежутке $$[3;5]$$:
$$|x-5|=-(x-5),\quad |x-3|=x-3,\quad |x-2|=x-2$$
Тогда
$$\frac{|x-5|+|x-3|}{|x-2|+|x-2|}\ge 0 \;\Longrightarrow\; \frac{8-2x}{2x-4}\ge 0.$$
На этом промежутке знаменатель положителен, значит
$$8-2x\ge 0,\quad x\le 4.$$
Следовательно, $$x\in[3;4].$$
4) На промежутке $$ (5;+\infty) $$ решений нет.
Итак,
$$x\in(2;4].$$
г) Найдём точки разбиения:
$$x-3=0,\quad x-7=0,\quad x-8=0$$
$$x=3,\quad x=7,\quad x=8$$
Рассмотрим промежутки: $$(-\infty;3),\ (3;7),\ [7;8),\ (8;+\infty).$$
1) На промежутке $$(-\infty;3)$$ решений нет.
2) На промежутке $$ (3;7) $$:
$$|x-7|=-(x-7),\quad |x-3|=x-3,\quad |x-8|=-(x-8)$$
Тогда
$$\frac{|x-7|+|x-3|}{|x-8|+|x-8|}\ge 0 \;\Longrightarrow\; \frac{10-2x}{2x-16}\ge 0.$$
На этом промежутке знаменатель отрицателен, значит
$$10-2x\le 0,\quad x\ge 5.$$
Следовательно, $$x\in[5;7).$$
3) На промежутке $$[7;8)$$:
$$|x-8|=-(x-8),\quad |x-3|=x-3,\quad |x-7|=x-7$$
Тогда
$$\frac{|x-7|+|x-3|}{|x-8|+|x-8|}\ge 0 \;\Longrightarrow\; \frac{-4}{2x-16}\ge 0.$$
На этом промежутке знаменатель отрицателен, значит неравенство верно при всех $$x\in[7;8).$$
4) На промежутке $$ (8;+\infty) $$ решений нет.
Итак,
$$x\in[5;8).$$