Упр.12 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

б)2 + log2 sin 7°30′ + log2 sin 82°30′ — log0,5 sin 75°;
в) sin ( arccos 1/3 — arctg 2).

1. $$\tg 20^\circ+\tg 25^\circ+\ctg 70^\circ\ctg 245^\circ$$
   
   Так как $$\ctg 70^\circ=\tg 20^\circ,$$ а $$\ctg 245^\circ=\ctg(270^\circ-25^\circ)=\tg 25^\circ,$$ то
   $$\tg 20^\circ+\tg 25^\circ+\ctg 70^\circ\ctg 245^\circ=\tg 20^\circ+\tg 25^\circ+\tg 20^\circ\tg 25^\circ.$$
   
   По формуле
   $$\tg(\alpha+\beta)=\frac{\tg\alpha+\tg\beta}{1-\tg\alpha\tg\beta}$$
   при $$\alpha=20^\circ,\ \beta=25^\circ$$ получаем
   $$1-\tg 20^\circ\tg 25^\circ=\frac{\tg 20^\circ+\tg 25^\circ}{\tg 45^\circ}=\tg 20^\circ+\tg 25^\circ.$$
   Тогда
   $$\tg 20^\circ+\tg 25^\circ+\tg 20^\circ\tg 25^\circ=1.$$

2. $$2+\log_2\sin 7^\circ30’+\log_2\sin 82^\circ30′-\log_{0,5}\sin 75^\circ$$
   
   Используем, что
   $$\sin 82^\circ30’=\cos 7^\circ30′, \qquad \log_{0,5}x=-\log_2 x.$$
   Тогда
   $$2+\log_2\sin 7^\circ30’+\log_2\cos 7^\circ30’+\log_2\sin 75^\circ.$$
   Так как
   $$\sin 75^\circ=\sin(45^\circ+30^\circ)=\sin 45^\circ\cos 30^\circ+\cos 45^\circ\sin 30^\circ,$$
   то
   $$\sin 75^\circ=2\sin 7^\circ30’\cos 7^\circ30′.$$
   Следовательно,
   $$2+\log_2\bigl(\sin 7^\circ30’\cos 7^\circ30’\sin 75^\circ\bigr) =2+\log_2\bigl(2\sin^2 7^\circ30’\cos^2 7^\circ30’\bigr).$$
   Удобнее записать через
   $$\sin 15^\circ=2\sin 7^\circ30’\cos 7^\circ30′,$$
   тогда
   $$2+\log_2\sin 7^\circ30’+\log_2\cos 7^\circ30’+\log_2\sin 75^\circ =\log_2 4+\log_2\bigl(\sin 7^\circ30’\cos 7^\circ30’\sin 75^\circ\bigr).$$
   Получаем
   $$=\log_2\bigl(4\sin 7^\circ30’\cos 7^\circ30’\sin 75^\circ\bigr) =\log_2\bigl(2\sin 15^\circ\sin 75^\circ\bigr).$$
   Так как $$\sin 75^\circ=\cos 15^\circ,$$ то
   $$2\sin 15^\circ\cos 15^\circ=\sin 30^\circ=\frac12.$$
   Значит,
   $$\log_2\frac12=-1.$$

3. $$\sin\left(\arccos\frac13-\arctg 2\right)$$
   
   Используем формулу разности синусов:
   $$\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta.$$
   Пусть
   $$\alpha=\arccos\frac13,\qquad \beta=\arctg 2.$$
   Тогда
   $$\cos\alpha=\frac13,\qquad \sin\alpha=\sqrt{1-\frac19}=\frac{2\sqrt2}{3},$$
   $$\tg\beta=2,\qquad \cos\beta=\frac1{\sqrt{1+2^2}}=\frac1{\sqrt5},\qquad \sin\beta=\frac2{\sqrt5}.$$
   Следовательно,
   $$\sin\left(\arccos\frac13-\arctg 2\right) =\frac{2\sqrt2}{3}\cdot\frac1{\sqrt5}-\frac13\cdot\frac2{\sqrt5} =\frac{2\sqrt{10}-2\sqrt5}{15}.$$

Ответ

а) $$1$$; б) $$-1$$; в) $$\frac{2(\sqrt{10}-\sqrt5)}{15}$$.