Упр.12.11 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 12.11

1. а) Рассмотрим неравенство по случаям:

   $$\frac{|x-1|+10}{4|x-1|+3}>2.$$

   Пусть $$t=|x-1|,\quad t\ge 0.$$ Тогда

   $$\frac{t+10}{4t+3}>2.$$

   $$t+10>2(4t+3)$$
   $$t+10>8t+6$$
   $$4>7t$$
   $$t<\frac47.$$

   Следовательно,

   $$|x-1|<\frac47,$$

   $$1-\frac47<x<1+\frac47,$$
   $$\frac37<x<\frac{11}{7}.$$

2. б) Аналогично:

   $$\frac{|x-2|+8}{3|x-2|+1}<3.$$

   Пусть $$t=|x-2|,\quad t\ge 0.$$ Тогда

   $$\frac{t+8}{3t+1}<3.$$

   $$t+8<3(3t+1)$$
   $$t+8<9t+3$$
   $$5<8t$$
   $$t>\frac58.$$

   Значит,

   $$|x-2|>\frac58,$$

   $$x<2-\frac58 \quad \text{или} \quad x>2+\frac58.$$

   $$x\in\left(-\infty;\frac{11}{8}\right)\cup\left(\frac{21}{8};+\infty\right).$$

3. в) Пусть $$t=|x-3|,\quad t\ge 0.$$ Тогда

   $$\frac{t+6}{2t+1}<4.$$

   $$t+6<4(2t+1)$$
   $$t+6<8t+4$$
   $$2<7t$$
   $$t>\frac27.$$

   Следовательно,

   $$|x-3|>\frac27,$$
   $$x<3-\frac27 \quad \text{или} \quad x>3+\frac27.$$

   $$x\in\left(-\infty;\frac{19}{7}\right)\cup\left(\frac{23}{7};+\infty\right).$$

4. г) Пусть $$t=|x-2|,\quad t\ge 0.$$ Тогда

   $$\frac{t+7}{3t+2}>1.$$

   $$t+7>3t+2$$
   $$5>2t$$
   $$t<\frac52.$$

   Значит,

   $$|x-2|<\frac52,$$
   $$2-\frac52<x<2+\frac52.$$

   $$x\in\left(-\frac12;\frac92\right).$$

Ответ

а) $$x\in\left(\frac37;\frac{11}{7}\right)$$
б) $$x\in\left(-\infty;\frac{11}{8}\right)\cup\left(\frac{21}{8};+\infty\right)$$
в) $$x\in\left(-\infty;\frac{19}{7}\right)\cup\left(\frac{23}{7};+\infty\right)$$
г) $$x\in\left(-\frac12;\frac92\right)$$