Упр.12.10 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Задача

12.10 а) |3х-6| > х + 2;
б) |2х-5| < х-1; в) |3х - 7| > 2х — 3;
г) |2х — 7| < 0,5x + 2.

Подробный ответ

а) $$|3x-6|>x+2$$
Рассмотрим два случая:
$$ \begin{cases} 3x-6>x+2,\\ 3x-6\ge 0 \end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} -3x+6>x+2,\\ 3x-6<0 \end{cases} $$
Отсюда:
$$ \begin{cases} x>4,\\ x\ge 2 \end{cases} \Rightarrow x>4, \qquad \begin{cases} x<1,\\ x<2 \end{cases} \Rightarrow x<1. $$
Значит,
$$x\in(-\infty;1)\cup(4;+\infty).$$
б) $$|2x-5|<x-1$$
Аналогично:
$$ \begin{cases} 2x-5<x-1,\\ 2x-5\ge 0 \end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} -2x+5<x-1,\\ 2x-5<0 \end{cases} $$
Получаем:
$$ \begin{cases} x<4,\\ x\ge \dfrac52 \end{cases} \Rightarrow x\in\left[\dfrac52;4\right), \qquad \begin{cases} x>2,\\ x<\dfrac52 \end{cases} \Rightarrow x\in\left(2;\dfrac52\right). $$
Тогда
$$x\in\left(2;4\right).$$
в) $$|3x-7|>2x-3$$
Рассмотрим случаи:
$$ \begin{cases} 3x-7>2x-3,\\ 3x-7\ge 0 \end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} -3x+7>2x-3,\\ 3x-7<0 \end{cases} $$
Тогда:
$$ \begin{cases} x>4,\\ x\ge \dfrac73 \end{cases} \Rightarrow x>4, \qquad \begin{cases} x<2,\\ x<\dfrac73 \end{cases} \Rightarrow x<2. $$
Следовательно,
$$x\in(-\infty;2)\cup(4;+\infty).$$
г) $$|2x-7|<0{,}5x+2$$
Имеем:
$$ \begin{cases} 2x-7<0{,}5x+2,\\ 2x-7\ge 0 \end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} -2x+7<0{,}5x+2,\\ 2x-7<0 \end{cases} $$
Отсюда:
$$ \begin{cases} x<6,\\ x\ge \dfrac72 \end{cases} \Rightarrow x\in\left[\dfrac72;6\right), \qquad \begin{cases} x>2,\\ x<\dfrac72 \end{cases} \Rightarrow x\in\left(2;\dfrac72\right). $$
Объединяя, получаем:
$$x\in\left(2;6\right).$$