Упр.12.1 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Задача

12.1 а) |х-1| = 2x + 4;
б) |х — 2| = 2х + 1;
в) |х-1| + |x+1| = 4;
г) |x-3| + |x + 3| = 8;
д) |х — 1| + |х — 2| + |х — 3| = 2;
е) |х + 1| + |х — 3| + |х — 5| = 7.

Подробный ответ

$$|x-1|=2x+4$$
Правая часть должна быть неотрицательной: $$2x+4\ge 0$$, то есть $$x\ge -2$$.
Рассмотрим случаи:
$$x-1\ge 0 \Rightarrow |x-1|=x-1$$

$$x-1=2x+4$$

$$x=-5$$
Но $$-5\not\ge -2$$, значит, этот корень не подходит.
$$x-1<0 \Rightarrow |x-1|=-x+1$$

$$-x+1=2x+4$$

$$-3x=3$$

$$x=-1$$
Проверка: $$|{-1}-1|=2$$, $$2\cdot(-1)+4=2$$.
Значит, $$x=-1$$.
$$|x-2|=2x+1$$
Требуется $$2x+1\ge 0$$, то есть $$x\ge -\frac12$$.
$$x-2\ge 0 \Rightarrow |x-2|=x-2$$

$$x-2=2x+1$$

$$x=-3$$
Этот корень не подходит, так как $$-3<-\frac12$$.
$$x-2<0 \Rightarrow |x-2|=-x+2$$

$$-x+2=2x+1$$

$$-3x=-1$$

$$x=\frac13$$
Проверка: $$\left|\frac13-2\right|=\frac53$$, $$2\cdot\frac13+1=\frac53$$.
Значит, $$x=\frac13$$.
$$|x-1|+|x+1|=4$$
Точки смены знака: $$x=-1$$ и $$x=1$$.
1) Если $$x<-1$$, то

$$|x-1|=-x+1,\quad |x+1|=-x-1$$

$$-x+1-x-1=4$$

$$-2x=4,\quad x=-2$$
2) Если $$-1\le x\le 1$$, то

$$|x-1|=-x+1,\quad |x+1|=x+1$$

$$(-x+1)+(x+1)=4$$

$$2=4$$
Решений нет.
3) Если $$x>1$$, то

$$|x-1|=x-1,\quad |x+1|=x+1$$

$$x-1+x+1=4$$

$$2x=4,\quad x=2$$
Ответ: $$x=-2,\;2$$.
$$|x-3|+|x+3|=8$$
Точки смены знака: $$x=-3$$ и $$x=3$$.
1) Если $$x<-3$$, то

$$|x-3|=-x+3,\quad |x+3|=-x-3$$

$$-x+3-x-3=8$$

$$-2x=8,\quad x=-4$$
2) Если $$-3\le x\le 3$$, то

$$|x-3|=-x+3,\quad |x+3|=x+3$$

$$(-x+3)+(x+3)=8$$

$$6=8$$
Решений нет.
3) Если $$x>3$$, то

$$|x-3|=x-3,\quad |x+3|=x+3$$

$$x-3+x+3=8$$

$$2x=8,\quad x=4$$
Ответ: $$x=-4,\;4$$.
$$|x-1|+|x-2|+|x-3|=2$$
Рассмотрим промежутки, заданные точками $$1,2,3$$.
1) Если $$x<1$$, то

$$|x-1|=-x+1,\quad |x-2|=-x+2,\quad |x-3|=-x+3$$

$$(-x+1)+(-x+2)+(-x+3)=2$$

$$-3x+6=2,\quad x=\frac43$$
Но $$\frac43\not<1$$, значит, не подходит.
2) Если $$1\le x\le 2$$, то

$$|x-1|=x-1,\quad |x-2|=-x+2,\quad |x-3|=-x+3$$

$$x-1-x+2-x+3=2$$

$$-x+4=2,\quad x=2$$
Подходит.
3) Если $$2\le x\le 3$$, то

$$|x-1|=x-1,\quad |x-2|=x-2,\quad |x-3|=-x+3$$

$$x-1+x-2-x+3=2$$

$$x=2$$
Подходит.
4) Если $$x>3$$, то

$$|x-1|=x-1,\quad |x-2|=x-2,\quad |x-3|=x-3$$

$$x-1+x-2+x-3=2$$

$$3x=8,\quad x=\frac83$$
Но $$\frac83\not>3$$, значит, не подходит.
Ответ: $$x=2$$.
$$|x+1|+|x-3|+|x-5|=7$$
Точки смены знака: $$x=-1,3,5$$.
1) Если $$x<-1$$, то

$$|x+1|=-x-1,\quad |x-3|=-x+3,\quad |x-5|=-x+5$$

$$(-x-1)+(-x+3)+(-x+5)=7$$

$$-3x+7=7,\quad x=0$$
Не подходит, так как $$0\not<-1$$.
2) Если $$-1\le x\le 3$$, то

$$|x+1|=x+1,\quad |x-3|=-x+3,\quad |x-5|=-x+5$$

$$x+1-x+3-x+5=7$$

$$-x+9=7,\quad x=2$$
Подходит.
3) Если $$3\le x\le 5$$, то

$$|x+1|=x+1,\quad |x-3|=x-3,\quad |x-5|=-x+5$$

$$x+1+x-3-x+5=7$$

$$x+3=7,\quad x=4$$
Подходит.
4) Если $$x>5$$, то

$$|x+1|=x+1,\quad |x-3|=x-3,\quad |x-5|=x-5$$

$$x+1+x-3+x-5=7$$

$$3x-7=7,\quad x=\frac{14}{3}$$
Не подходит, так как $$\frac{14}{3}\not>5$$.
Ответ: $$x=2,\;4$$.