Упр.12.1 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
- 12.1. Решите уравнение:
а) $$|x-1|=2x+4$$;
б) $$|x-2|=2x+1$$;
в) $$|x-1|+|x+1|=4$$;
г) $$|x-3|+|x+3|=8$$;
д) $$|x-1|+|x-2|+|x-3|=2$$;
е) $$|x+1|+|x-3|+|x-5|=7$$.
$$|x-1|=2x+4$$
Правая часть должна быть неотрицательной: $$2x+4\ge 0$$, то есть $$x\ge -2$$.
Рассмотрим случаи:
$$x-1\ge 0 \Rightarrow |x-1|=x-1$$
$$x-1=2x+4$$
$$x=-5$$Но $$-5\not\ge -2$$, значит, этот корень не подходит.
$$x-1<0 \Rightarrow |x-1|=-x+1$$
$$-x+1=2x+4$$
$$-3x=3$$
$$x=-1$$Проверка: $$|{-1}-1|=2$$, $$2\cdot(-1)+4=2$$.
Значит, $$x=-1$$.
$$|x-2|=2x+1$$
Требуется $$2x+1\ge 0$$, то есть $$x\ge -\frac12$$.
$$x-2\ge 0 \Rightarrow |x-2|=x-2$$
$$x-2=2x+1$$
$$x=-3$$Этот корень не подходит, так как $$-3<-\frac12$$.
$$x-2<0 \Rightarrow |x-2|=-x+2$$
$$-x+2=2x+1$$
$$-3x=-1$$
$$x=\frac13$$Проверка: $$\left|\frac13-2\right|=\frac53$$, $$2\cdot\frac13+1=\frac53$$.
Значит, $$x=\frac13$$.
$$|x-1|+|x+1|=4$$
Точки смены знака: $$x=-1$$ и $$x=1$$.
1) Если $$x<-1$$, то
$$|x-1|=-x+1,\quad |x+1|=-x-1$$
$$-x+1-x-1=4$$
$$-2x=4,\quad x=-2$$2) Если $$-1\le x\le 1$$, то
$$|x-1|=-x+1,\quad |x+1|=x+1$$
$$(-x+1)+(x+1)=4$$
$$2=4$$Решений нет.
3) Если $$x>1$$, то
$$|x-1|=x-1,\quad |x+1|=x+1$$
$$x-1+x+1=4$$
$$2x=4,\quad x=2$$Ответ: $$x=-2,\;2$$.
$$|x-3|+|x+3|=8$$
Точки смены знака: $$x=-3$$ и $$x=3$$.
1) Если $$x<-3$$, то
$$|x-3|=-x+3,\quad |x+3|=-x-3$$
$$-x+3-x-3=8$$
$$-2x=8,\quad x=-4$$2) Если $$-3\le x\le 3$$, то
$$|x-3|=-x+3,\quad |x+3|=x+3$$
$$(-x+3)+(x+3)=8$$
$$6=8$$Решений нет.
3) Если $$x>3$$, то
$$|x-3|=x-3,\quad |x+3|=x+3$$
$$x-3+x+3=8$$
$$2x=8,\quad x=4$$Ответ: $$x=-4,\;4$$.
$$|x-1|+|x-2|+|x-3|=2$$
Рассмотрим промежутки, заданные точками $$1,2,3$$.
1) Если $$x<1$$, то
$$|x-1|=-x+1,\quad |x-2|=-x+2,\quad |x-3|=-x+3$$
$$(-x+1)+(-x+2)+(-x+3)=2$$
$$-3x+6=2,\quad x=\frac43$$Но $$\frac43\not<1$$, значит, не подходит.
2) Если $$1\le x\le 2$$, то
$$|x-1|=x-1,\quad |x-2|=-x+2,\quad |x-3|=-x+3$$
$$x-1-x+2-x+3=2$$
$$-x+4=2,\quad x=2$$Подходит.
3) Если $$2\le x\le 3$$, то
$$|x-1|=x-1,\quad |x-2|=x-2,\quad |x-3|=-x+3$$
$$x-1+x-2-x+3=2$$
$$x=2$$Подходит.
4) Если $$x>3$$, то
$$|x-1|=x-1,\quad |x-2|=x-2,\quad |x-3|=x-3$$
$$x-1+x-2+x-3=2$$
$$3x=8,\quad x=\frac83$$Но $$\frac83\not>3$$, значит, не подходит.
Ответ: $$x=2$$.
$$|x+1|+|x-3|+|x-5|=7$$
Точки смены знака: $$x=-1,3,5$$.
1) Если $$x<-1$$, то
$$|x+1|=-x-1,\quad |x-3|=-x+3,\quad |x-5|=-x+5$$
$$(-x-1)+(-x+3)+(-x+5)=7$$
$$-3x+7=7,\quad x=0$$Не подходит, так как $$0\not<-1$$.
2) Если $$-1\le x\le 3$$, то
$$|x+1|=x+1,\quad |x-3|=-x+3,\quad |x-5|=-x+5$$
$$x+1-x+3-x+5=7$$
$$-x+9=7,\quad x=2$$Подходит.
3) Если $$3\le x\le 5$$, то
$$|x+1|=x+1,\quad |x-3|=x-3,\quad |x-5|=-x+5$$
$$x+1+x-3-x+5=7$$
$$x+3=7,\quad x=4$$Подходит.
4) Если $$x>5$$, то
$$|x+1|=x+1,\quad |x-3|=x-3,\quad |x-5|=x-5$$
$$x+1+x-3+x-5=7$$
$$3x-7=7,\quad x=\frac{14}{3}$$Не подходит, так как $$\frac{14}{3}\not>5$$.
Ответ: $$x=2,\;4$$.
Ответ
а) $$-1$$; б) $$\frac13$$; в) $$-2,\;2$$; г) $$-4,\;4$$; д) $$2$$; е) $$2,\;4$$.
