Упр.118 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

$$\cos x+\cos 3x=\sqrt{3}\cos 2x$$

Используем формулу суммы косинусов:

$$\cos x+\cos 3x=2\cos\frac{x+3x}{2}\cos\frac{x-3x}{2}=2\cos 2x\cos x.$$

Тогда уравнение принимает вид

$$2\cos x\cos 2x=\sqrt3\cos 2x.$$

Перенесём всё в одну сторону и вынесем общий множитель:

$$\cos 2x\,(2\cos x-\sqrt3)=0.$$

Отсюда получаем совокупность:

$$\cos 2x=0 \quad \text{или} \quad 2\cos x-\sqrt3=0.$$

1) $$\cos 2x=0 \Rightarrow 2x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\ k\in\mathbb Z,$$

$$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2},\ k\in\mathbb Z.$$

2) $$2\cos x-\sqrt3=0 \Rightarrow \cos x=\frac{\sqrt3}{2},$$

$$x=\pm\frac{\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

Ответ

$$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2},\ k\in\mathbb Z;\quad x=\pm\frac{\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$