Упр.117 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 117 (МГУ, псих. ф-т). 3sin2x — 3cosx — 6sinx + 2sin2x + 3 = 0. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 nikol11 povtor/117 118
Преобразуем уравнение:
$$3\sin^2 x-3\cos x-6\sin x+2\sin 2x+3=0.$$
Так как $$\sin 2x=2\sin x\cos x,$$ получаем
$$3\sin^2 x-3\cos x-6\sin x+4\sin x\cos x+3=0.$$
Используем тождество $$\sin^2 x+\cos^2 x=1$$ и сгруппируем слагаемые:
$$3\sin^2 x-3(\cos x+2\sin x)+4\sin x\cos x+(\sin^2 x+\cos^2 x)+2=0.$$
Тогда
$$\left(2\sin x+\cos x\right)^2-3\left(2\sin x+\cos x\right)+2=0.$$
Обозначим $$t=2\sin x+\cos x$$. Получаем квадратное уравнение:
$$t^2-3t+2=0,$$
$$\left(t-1\right)\left(t-2\right)=0.$$
Значит,
$$2\sin x+\cos x=1 \quad \text{или} \quad 2\sin x+\cos x=2.$$
Представим левую часть в виде одной тригонометрической функции. Пусть
$$\varphi=\arccos \frac{1}{\sqrt5}=\arcsin \frac{2}{\sqrt5}.$$
Тогда
$$2\sin x+\cos x=\sqrt5\cos(x-\varphi).$$
Следовательно, система распадается на два уравнения:
$$\cos(x-\varphi)=\frac{1}{\sqrt5}=\cos\varphi,$$
$$\cos(x-\varphi)=\frac{2}{\sqrt5}=\sin\varphi=\cos\left(\frac{\pi}{2}-\varphi\right).$$
Отсюда:
$$x-\varphi=\pm\varphi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$
$$x-\varphi=\pm\left(\frac{\pi}{2}-\varphi\right)+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$
Получаем решения:
$$x=2\varphi+2\pi m,\quad m\in\mathbb Z,$$
$$x=2\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$
$$x=\frac{\pi}{2}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z,$$
$$x=2\varphi-\frac{\pi}{2}+2\pi l,\quad l\in\mathbb Z.$$
Так как $$\varphi=\arcsin \frac{2}{\sqrt5},$$ окончательно имеем:
$$x=2\pi n,\quad x=\frac{\pi}{2}+2\pi k,\quad x=2\arcsin\frac{1}{\sqrt5}+2\pi m,\quad x=2\arcsin\frac{1}{\sqrt5}-\frac{\pi}{2}+2\pi l,\quad n,k,m,l\in\mathbb Z.$$
Ответ
$$x=2\pi n,\; x=\frac{\pi}{2}+2\pi k,\; x=2\arcsin\frac{1}{\sqrt5}+2\pi m,\; x=2\arcsin\frac{1}{\sqrt5}-\frac{\pi}{2}+2\pi l,\; n,k,m,l\in\mathbb Z.$$
