Упр.116 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

$$\sin x = 2\operatorname{ctg}x$$

Преобразуем уравнение:

$$\sin x=2\ctg x$$

Так как $$\ctg x=\dfrac{\cos x}{\sin x}$$, получаем

$$\sin x=\dfrac{2\cos x}{\sin x}.$$

Умножим обе части на $$\sin x$$. При этом нужно учитывать, что $$\sin x\neq 0$$:

$$\sin^2 x=2\cos x.$$

Подставим $$\sin^2 x=1-\cos^2 x$$:

$$1-\cos^2 x=2\cos x$$

$$\cos^2 x+2\cos x-1=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$\cos x=-1\pm\sqrt2.$$

Значение $$-1-\sqrt2$$ не подходит, так как $$\cos x\in[-1;1]$$. Остаётся

$$\cos x=\sqrt2-1.$$

Тогда

$$x=\pm \arccos(\sqrt2-1)+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

Проверка условия $$\sin x\neq 0$$ выполнена, так как при $$\cos x=\sqrt2-1$$ синус не равен нулю.

Ответ

$$x=\pm \arccos(\sqrt2-1)+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$