Упр.115 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 115 (МГУ, биол. ф-т). cos(2x- пи/3) — sinx= 1/2. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 nikol11 povtor/115 118

Используем формулу косинуса разности:

$$\cos\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)=\cos 2x\cos\frac{\pi}{3}+\sin 2x\sin\frac{\pi}{3}=\frac12\cos 2x+\frac{\sqrt3}{2}\sin 2x.$$

Тогда уравнение принимает вид

$$\frac12\cos 2x+\frac{\sqrt3}{2}\sin 2x-\sin x=\frac12.$$

Перенесём $$\frac12$$ в левую часть и заменим $$\cos 2x=1-2\sin^2 x$$:

$$\frac12(1-2\sin^2 x)+\frac{\sqrt3}{2}\sin 2x-\sin x-\frac12=0,$$

$$-\sin^2 x+\frac{\sqrt3}{2}\sin 2x-\sin x=0.$$

Так как $$\sin 2x=2\sin x\cos x$$, получаем

$$-\sin^2 x+\sqrt3\sin x\cos x-\sin x=0,$$

$$\sin x\left(\sin x-\sqrt3\cos x+1\right)=0.$$

Отсюда

$$\sin x=0$$

или

$$\sin x-\sqrt3\cos x+1=0.$$

Во втором случае преобразуем выражение:

$$\sin x-\sqrt3\cos x=-1,$$

$$2\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)=-1,$$

$$\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac12.$$

Тогда

$$x-\frac{\pi}{3}=-\frac{\pi}{6}+2\pi k \quad \text{или} \quad x-\frac{\pi}{3}=\frac{7\pi}{6}+2\pi k,$$

$$x=\frac{\pi}{6}+2\pi k \quad \text{или} \quad x=\frac{3\pi}{2}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

Из первого уравнения получаем

$$x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Объединяя решения, имеем

$$x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

$$x=\frac{\pi}{6}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z,$$

$$x=\frac{3\pi}{2}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

Можно записать ответ в виде

$$x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z;\qquad x=-\frac{\pi}{6}\pm\frac{\pi}{3}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

Ответ

$$x=\pi n,\ n\in\mathbb Z;\quad x=-\frac{\pi}{6}\pm\frac{\pi}{3}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z.$$