Упр.114 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 114 (МГУ, хим. ф-т). tgx + tg2x + tgx tg2x tg3x = tg3x + tg4x. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 nikol11 povtor/114 118

Преобразуем левую часть, используя формулу тангенса суммы:

$$\tg(3x)=\tg(2x+x)=\frac{\tg 2x+\tg x}{1-\tg 2x\,\tg x}.$$

Из этого равенства получаем

$$\tg x=\frac{\tg 3x-\tg 2x}{1+\tg 2x\,\tg 3x}.$$

Подставим это в исходное уравнение:

$$\tg x+\tg 2x+\tg x\,\tg 2x\,\tg 3x=\tg 3x+\tg 4x.$$

Тогда

$$\left(\frac{\tg 3x-\tg 2x}{1+\tg 2x\,\tg 3x}\right)\left(1+\tg 2x\,\tg 3x\right)+\tg 2x=\tg 3x+\tg 4x.$$

Сокращаем:

$$\tg 3x-\tg 2x+\tg 2x=\tg 3x+\tg 4x.$$

Получаем

$$\tg 4x=0.$$

Отсюда

$$4x=\pi k,\quad k\in \mathbb{Z}.$$

Следовательно,

$$x=\frac{\pi k}{4},\quad k\in \mathbb{Z}.$$

Ответ

$$x=\frac{\pi k}{4},\quad k\in \mathbb{Z}.$$