Упр.113 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 113 (МГУ, ИСАиА). 5(sin2x)2 + 8(cosx)3 = 8cosx, х принадлежит [3пи/2;2пи].

Преобразуем уравнение:

$$5(\sin 2x)^2+8(\cos x)^3=8\cos x,$$

$$20\sin^2 x\cos^2 x+8\cos^3 x-8\cos x=0.$$

Вынесем общий множитель $$\cos x$$:

$$\cos x\left(20\sin^2 x\cos x+8\cos^2 x-8\right)=0.$$

Так как $$\cos^2 x=1-\sin^2 x,$$ получаем

$$\cos x\left(20\sin^2 x\cos x-8\sin^2 x\right)=0,$$

$$\cos x\sin^2 x(20\cos x-8)=0.$$

Следовательно,

$$\cos x=0 \quad \text{или} \quad \sin x=0 \quad \text{или} \quad \cos x=\frac25.$$

На промежутке $$\left[\frac{3\pi}{2};2\pi\right]$$ получаем:

$$\cos x=0 \Rightarrow x=\frac{3\pi}{2},$$

$$\sin x=0 \Rightarrow x=2\pi,$$

$$\cos x=\frac25 \Rightarrow x=2\pi-\arccos\frac25.$$

Ответ

$$\frac{3\pi}{2},\ 2\pi,\ 2\pi-\arccos\frac25$$