Упр.110 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

110. Решите уравнение: $$3\cos 2x+4\sin x=1$$

Используем формулу $$\cos 2x=1-2\sin^2 x$$:

$$3\cos 2x+4\sin x=1$$

$$3(1-2\sin^2 x)+4\sin x=1$$

$$3-6\sin^2 x+4\sin x-1=0$$

$$6\sin^2 x-4\sin x-2=0$$

$$3\sin^2 x-2\sin x-1=0$$

Сделаем замену $$t=\sin x$$. Тогда получаем квадратное уравнение:

$$3t^2-2t-1=0$$

$$D=(-2)^2-4\cdot 3\cdot(-1)=16$$

$$t_{1,2}=\frac{2\pm 4}{6}$$

Отсюда:

$$t_1=1,\qquad t_2=-\frac13$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$\sin x=1 \quad \text{или} \quad \sin x=-\frac13$$

Тогда

$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

или

$$x=(-1)^{k+1}\arcsin\frac13+\pi k,\quad k\in\mathbb Z$$

Ответ

$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z;\quad x=(-1)^{k+1}\arcsin\frac13+\pi k,\ k\in\mathbb Z$$