Упр.11.9 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Задача

б) корень (x+4) > х-2;
в) корень (2х+1) > х-1;
г) корень (3х + 4) > х-2.

Подробный ответ

а) $$\sqrt{x+1}>x-1$$
Область определения: $$x+1\ge 0,\quad x\ge -1.$$
Если $$x-1<0,$$ то неравенство выполняется автоматически. Тогда
$$x<1.$$
Если $$x\ge 1,$$ возведём обе части в квадрат:
$$ x+1>(x-1)^2 $$
$$ x+1>x^2-2x+1 $$
$$ x^2-3x<0 $$
$$ x(x-3)<0 $$
$$ x\in(0;3). $$
С учётом $$x\ge 1$$ получаем $$x\in[1;3).$$
Объединяя с случаем $$x<1$$ и учитывая ОДЗ, имеем:
$$x\in[-1;3).$$
б) $$\sqrt{x+4}>x-2$$
Область определения: $$x+4\ge 0,\quad x\ge -4.$$
Если $$x-2<0,$$ то неравенство выполняется автоматически, значит
$$x<2.$$
Если $$x\ge 2,$$ возведём обе части в квадрат:
$$ x+4>(x-2)^2 $$
$$ x+4>x^2-4x+4 $$
$$ x^2-5x<0 $$
$$ x(x-5)<0 $$
$$ x\in(0;5). $$
С учётом $$x\ge 2$$ получаем $$x\in[2;5).$$
Объединяя с случаем $$x<2$$ и ОДЗ, получаем:
$$x\in[-4;5).$$
в) $$\sqrt{2x+1}>x-1$$
Область определения: $$2x+1\ge 0,\quad x\ge -\frac12.$$
Если $$x-1<0,$$ то неравенство выполняется автоматически, значит
$$x<1.$$
Если $$x\ge 1,$$ возведём обе части в квадрат:
$$ 2x+1>(x-1)^2 $$
$$ 2x+1>x^2-2x+1 $$
$$ x^2-4x<0 $$
$$ x(x-4)<0 $$
$$ x\in(0;4). $$
С учётом $$x\ge 1$$ получаем $$x\in[1;4).$$
Итак,
$$x\in\left[-\frac12;4\right).$$
г) $$\sqrt{3x+4}>x-2$$
Область определения: $$3x+4\ge 0,\quad x\ge -\frac43.$$
Если $$x-2<0,$$ то неравенство выполняется автоматически, значит
$$x<2.$$
Если $$x\ge 2,$$ возведём обе части в квадрат:
$$ 3x+4>(x-2)^2 $$
$$ 3x+4>x^2-4x+4 $$
$$ x^2-7x<0 $$
$$ x(x-7)<0 $$
$$ x\in(0;7). $$
С учётом $$x\ge 2$$ получаем $$x\in[2;7).$$
Следовательно,
$$x\in\left[-\frac43;7\right).$$