Упр.11.7 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 11.7 а) корень (2х — 1) < х; б) 2 корень (x- 1) < х; в) корень (6х- 9) < х; г) 2 корень (2х - 4) < х.

Подробный ответ

а) $$\sqrt{2x-1}
Область определения: $$2x-1\ge 0,\quad x\ge 0,$$ значит $$x\ge \frac12.$$
На этой области $$x\ge 0,$$ поэтому можно возвести неравенство в квадрат:
$$2x-1<x^2$$
$$x^2-2x+1>0$$
$$\left(x-1\right)^2>0$$
Это верно при всех $$x,$$ кроме $$x=1.$$ С учётом ОДЗ получаем:
$$x\in \left[\frac12;1\right)\cup(1;+\infty).$$
б) $$2\sqrt{x-1}<x$$
Область определения: $$x-1\ge 0,\quad x\ge 1.$$
На этой области обе части неотрицательны, возводим в квадрат:
$$4(x-1)<x^2$$
$$x^2-4x+4>0$$
$$\left(x-2\right)^2>0$$
Следовательно, $$x\ne 2,$$ а с учётом ОДЗ:
$$x\in [1;2)\cup(2;+\infty).$$
в) $$\sqrt{6x-9}<x$$
Область определения: $$6x-9\ge 0,\quad x\ge \frac32.$$
Возводим в квадрат:
$$6x-9<x^2$$
$$x^2-6x+9>0$$
$$\left(x-3\right)^2>0$$
Значит, $$x\ne 3,$$ и с учётом ОДЗ:
$$x\in \left[\frac32;3\right)\cup(3;+\infty).$$
г) $$2\sqrt{2x-4}<x$$
Область определения: $$2x-4\ge 0,\quad x\ge 2.$$
Возводим в квадрат:
$$4(2x-4)<x^2$$
$$x^2-8x+16>0$$
$$\left(x-4\right)^2>0$$
Следовательно, $$x\ne 4,$$ а с учётом ОДЗ:
$$x\in [2;4)\cup(4;+\infty).$$