Упр.11.64 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

1. а) $$\log_{6x}(x^2-17x+60)\leq 1$$; б) $$\log_{6x}(x^2-15x+54)\geq 1$$; в) $$\log_{12x}(x^2-19x+84)\leq 1$$; г) $$\log_{7x}(x^2-16x+60)\geq 1$$.

1. а) $$\log_{6x}(x^2-17x+60)\le 1$$

   ОДЗ:

   $$x^2-17x+60>0,\quad 6x>0,\quad 6x\ne 1.$$

   Отсюда

   $$x\in(0;\tfrac16)\cup(\tfrac16;5)\cup(12;+\infty).$$

   На ОДЗ

   $$\log_{6x}(x^2-17x+60)=\frac{\lg(x^2-17x+60)}{\lg 6x}.$$

   Рассмотрим уравнение

   $$\log_{6x}(x^2-17x+60)=1$$

   $$\lg(x^2-17x+60)=\lg 6x$$

   $$x^2-17x+60=6x$$

   $$x^2-23x+60=0$$

   $$x_1=3,\quad x_2=20.$$

   Теперь решим неравенство

   $$\frac{\lg(x^2-17x+60)}{\lg 6x}-1<0.$$

   При $$x\in(0;\tfrac16)$$ имеем $$\lg 6x<0$$, поэтому

   $$\lg(x^2-17x+60)-\lg 6x>0,$$

   $$x^2-17x+60>6x,$$

   $$x^2-23x+60>0,$$

   $$x\in(-\infty;3)\cup(20;+\infty).$$

   На этом промежутке получаем $$x\in(0;\tfrac16).$$

   При $$x\in(\tfrac16;5)\cup(12;+\infty)$$ имеем $$\lg 6x>0$$, поэтому

   $$\lg(x^2-17x+60)-\lg 6x<0,$$

   $$x^2-23x+60<0,$$

   $$x\in(3;20).$$

   С учётом ОДЗ:

   $$x\in(3;5)\cup(12;20].$$

2. б) $$\log_{6x}(x^2-15x+54)\ge 1$$

   ОДЗ:

   $$x^2-15x+54>0,\quad 6x>0,\quad 6x\ne 1,$$

   $$x\in(0;\tfrac16)\cup(\tfrac16;6)\cup(9;+\infty).$$

   Уравнение

   $$\log_{6x}(x^2-15x+54)=1$$

   даёт

   $$\lg(x^2-15x+54)=\lg 6x,$$

   $$x^2-15x+54=6x,$$

   $$x^2-21x+54=0,$$

   $$x_1=3,\quad x_2=18.$$

   Решаем неравенство

   $$\frac{\lg(x^2-15x+54)}{\lg 6x}-1>0.$$

   При $$x\in(0;\tfrac16)$$, где $$\lg 6x<0$$, получаем

   $$\lg(x^2-15x+54)-\lg 6x<0,$$

   $$x^2-21x+54<0,$$

   $$x\in(3;18),$$

   но на этом промежутке нет точек из $$\left(0;\tfrac16\right)$$.

   При $$x\in(\tfrac16;6)\cup(9;+\infty)$$, где $$\lg 6x>0$$, имеем

   $$\lg(x^2-15x+54)-\lg 6x\ge 0,$$

   $$x^2-21x+54\ge 0,$$

   $$x\in(-\infty;3]\cup[18;+\infty).$$

   С учётом ОДЗ:

   $$x\in(\tfrac16;3]\cup[18;+\infty).$$

3. в) $$\log_{12x}(x^2-19x+84)\le 1$$

   ОДЗ:

   $$x^2-19x+84>0,\quad 12x>0,\quad 12x\ne 1,$$

   $$x\in(0;\tfrac1{12})\cup(\tfrac1{12};7)\cup(12;+\infty).$$

   Уравнение

   $$\log_{12x}(x^2-19x+84)=1$$

   даёт

   $$\lg(x^2-19x+84)=\lg 12x,$$

   $$x^2-19x+84=12x,$$

   $$x^2-31x+84=0,$$

   $$x_1=3,\quad x_2=28.$$

   Решаем неравенство

   $$\frac{\lg(x^2-19x+84)}{\lg 12x}-1<0.$$

   При $$x\in(0;\tfrac1{12})$$, где $$\lg 12x<0$$, получаем

   $$\lg(x^2-19x+84)-\lg 12x>0,$$

   $$x^2-31x+84>0,$$

   $$x\in(-\infty;3)\cup(28;+\infty),$$

   откуда $$x\in(0;\tfrac1{12}).$$

   При $$x\in(\tfrac1{12};7)\cup(12;+\infty)$$, где $$\lg 12x>0$$, имеем

   $$\lg(x^2-19x+84)-\lg 12x<0,$$

   $$x^2-31x+84<0,$$

   $$x\in(3;28).$$

   С учётом ОДЗ:

   $$x\in[3;7)\cup(12;28].$$

4. г) $$\log_{7x}(x^2-16x+60)\ge 1$$

   ОДЗ:

   $$x^2-16x+60>0,\quad 7x>0,\quad 7x\ne 1,$$

   $$x\in(0;\tfrac17)\cup(\tfrac17;6)\cup(10;+\infty).$$

   Уравнение

   $$\log_{7x}(x^2-16x+60)=1$$

   даёт

   $$\lg(x^2-16x+60)=\lg 7x,$$

   $$x^2-16x+60=7x,$$

   $$x^2-23x+60=0,$$

   $$x_1=3,\quad x_2=20.$$

   Решаем неравенство

   $$\frac{\lg(x^2-16x+60)}{\lg 7x}-1>0.$$

   При $$x\in(0;\tfrac17)$$, где $$\lg 7x<0$$, получаем

   $$\lg(x^2-16x+60)-\lg 7x<0,$$

   $$x^2-23x+60<0,$$

   $$x\in(3;20),$$

   но на этом промежутке нет точек из $$\left(0;\tfrac17\right)$$.

   При $$x\in(\tfrac17;6)\cup(10;+\infty)$$, где $$\lg 7x>0$$, имеем

   $$\lg(x^2-16x+60)-\lg 7x>0,$$

   $$x^2-23x+60>0,$$

   $$x\in(-\infty;3)\cup(20;+\infty).$$

   С учётом ОДЗ:

   $$x\in(\tfrac17;3]\cup[20;+\infty).$$

Ответ

а) $$x\in(3;5)\cup(12;20]$$; б) $$x\in(\tfrac16;3]\cup[18;+\infty)$$; в) $$x\in[3;7)\cup(12;28]$$; г) $$x\in(\tfrac17;3]\cup[20;+\infty)$$.