Упр.11.64 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
б) log6x(x2-15x+54) > =1;
в) log12x(x2-19x+84) < =1;
г) log7x(x2-16x+60) > =1.
а) $$\log_{6x}(x^2-17x+60)\le 1$$
ОДЗ:
$$x^2-17x+60>0,\quad 6x>0,\quad 6x\ne 1.$$
Отсюда
$$x\in(0;\tfrac16)\cup(\tfrac16;5)\cup(12;+\infty).$$
На ОДЗ
$$\log_{6x}(x^2-17x+60)=\frac{\lg(x^2-17x+60)}{\lg 6x}.$$
Рассмотрим уравнение
$$\log_{6x}(x^2-17x+60)=1$$
$$\lg(x^2-17x+60)=\lg 6x$$
$$x^2-17x+60=6x$$
$$x^2-23x+60=0$$
$$x_1=3,\quad x_2=20.$$
Теперь решим неравенство
$$\frac{\lg(x^2-17x+60)}{\lg 6x}-1<0.$$
При $$x\in(0;\tfrac16)$$ имеем $$\lg 6x<0$$, поэтому
$$\lg(x^2-17x+60)-\lg 6x>0,$$
$$x^2-17x+60>6x,$$
$$x^2-23x+60>0,$$
$$x\in(-\infty;3)\cup(20;+\infty).$$
На этом промежутке получаем $$x\in(0;\tfrac16).$$
При $$x\in(\tfrac16;5)\cup(12;+\infty)$$ имеем $$\lg 6x>0$$, поэтому
$$\lg(x^2-17x+60)-\lg 6x<0,$$
$$x^2-23x+60<0,$$
$$x\in(3;20).$$
С учётом ОДЗ:
$$x\in(3;5)\cup(12;20].$$
б) $$\log_{6x}(x^2-15x+54)\ge 1$$
ОДЗ:
$$x^2-15x+54>0,\quad 6x>0,\quad 6x\ne 1,$$
$$x\in(0;\tfrac16)\cup(\tfrac16;6)\cup(9;+\infty).$$
Уравнение
$$\log_{6x}(x^2-15x+54)=1$$
даёт
$$\lg(x^2-15x+54)=\lg 6x,$$
$$x^2-15x+54=6x,$$
$$x^2-21x+54=0,$$
$$x_1=3,\quad x_2=18.$$
Решаем неравенство
$$\frac{\lg(x^2-15x+54)}{\lg 6x}-1>0.$$
При $$x\in(0;\tfrac16)$$, где $$\lg 6x<0$$, получаем
$$\lg(x^2-15x+54)-\lg 6x<0,$$
$$x^2-21x+54<0,$$
$$x\in(3;18),$$
но на этом промежутке нет точек из $$\left(0;\tfrac16\right)$$.
При $$x\in(\tfrac16;6)\cup(9;+\infty)$$, где $$\lg 6x>0$$, имеем
$$\lg(x^2-15x+54)-\lg 6x\ge 0,$$
$$x^2-21x+54\ge 0,$$
$$x\in(-\infty;3]\cup[18;+\infty).$$
С учётом ОДЗ:
$$x\in(\tfrac16;3]\cup[18;+\infty).$$
в) $$\log_{12x}(x^2-19x+84)\le 1$$
ОДЗ:
$$x^2-19x+84>0,\quad 12x>0,\quad 12x\ne 1,$$
$$x\in(0;\tfrac1{12})\cup(\tfrac1{12};7)\cup(12;+\infty).$$
Уравнение
$$\log_{12x}(x^2-19x+84)=1$$
даёт
$$\lg(x^2-19x+84)=\lg 12x,$$
$$x^2-19x+84=12x,$$
$$x^2-31x+84=0,$$
$$x_1=3,\quad x_2=28.$$
Решаем неравенство
$$\frac{\lg(x^2-19x+84)}{\lg 12x}-1<0.$$
При $$x\in(0;\tfrac1{12})$$, где $$\lg 12x<0$$, получаем
$$\lg(x^2-19x+84)-\lg 12x>0,$$
$$x^2-31x+84>0,$$
$$x\in(-\infty;3)\cup(28;+\infty),$$
откуда $$x\in(0;\tfrac1{12}).$$
При $$x\in(\tfrac1{12};7)\cup(12;+\infty)$$, где $$\lg 12x>0$$, имеем
$$\lg(x^2-19x+84)-\lg 12x<0,$$
$$x^2-31x+84<0,$$
$$x\in(3;28).$$
С учётом ОДЗ:
$$x\in[3;7)\cup(12;28].$$
г) $$\log_{7x}(x^2-16x+60)\ge 1$$
ОДЗ:
$$x^2-16x+60>0,\quad 7x>0,\quad 7x\ne 1,$$
$$x\in(0;\tfrac17)\cup(\tfrac17;6)\cup(10;+\infty).$$
Уравнение
$$\log_{7x}(x^2-16x+60)=1$$
даёт
$$\lg(x^2-16x+60)=\lg 7x,$$
$$x^2-16x+60=7x,$$
$$x^2-23x+60=0,$$
$$x_1=3,\quad x_2=20.$$
Решаем неравенство
$$\frac{\lg(x^2-16x+60)}{\lg 7x}-1>0.$$
При $$x\in(0;\tfrac17)$$, где $$\lg 7x<0$$, получаем
$$\lg(x^2-16x+60)-\lg 7x<0,$$
$$x^2-23x+60<0,$$
$$x\in(3;20),$$
но на этом промежутке нет точек из $$\left(0;\tfrac17\right)$$.
При $$x\in(\tfrac17;6)\cup(10;+\infty)$$, где $$\lg 7x>0$$, имеем
$$\lg(x^2-16x+60)-\lg 7x>0,$$
$$x^2-23x+60>0,$$
$$x\in(-\infty;3)\cup(20;+\infty).$$
С учётом ОДЗ:
$$x\in(\tfrac17;3]\cup[20;+\infty).$$
Ответ
а) $$x\in(3;5)\cup(12;20]$$; б) $$x\in(\tfrac16;3]\cup[18;+\infty)$$; в) $$x\in[3;7)\cup(12;28]$$; г) $$x\in(\tfrac17;3]\cup[20;+\infty)$$.
