Упр.11.63 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
- а) $$\sqrt{4\lg x-24}\ge 9-\lg x$$; б) $$\sqrt{9\lg x-3}\le 1-4\lg x$$; в) $$\sqrt{4\lg x-16}\ge 7-\lg x$$; г) $$\sqrt{12\lg x-8}\le 1-3\lg x$$.
а) Рассмотрим уравнение
$$\sqrt{4\lg x-24}=9-\lg x.$$
Возведём обе части в квадрат:
$$4\lg x-24=(9-\lg x)^2.$$
Получаем
$$4\lg x-24=81-18\lg x+\lg^2 x,$$
$$\lg^2 x-22\lg x+105=0.$$
Пусть $$t=\lg x$$. Тогда
$$t^2-22t+105=0,$$
$$D=22^2-4\cdot105=4,$$
$$t_1=7,\quad t_2=15.$$
С учётом условия $$9-\lg x\ge 0$$ получаем $$\lg x\le 9$$, значит подходит только $$\lg x=7$$.
Проверка: $$x=10^7$$ действительно удовлетворяет неравенству.
Теперь решим неравенство
$$\sqrt{4\lg x-24}\ge 9-\lg x.$$
Если $$9-\lg x\le 0$$, то неравенство выполняется при $$\lg x\ge 9$$, то есть $$x\ge 10^9$$.
Если $$9-\lg x>0$$, то можно возвести в квадрат:
$$4\lg x-24\ge (9-\lg x)^2.$$
Это даёт
$$\lg^2 x-22\lg x+105\le 0,$$
откуда
$$7\le \lg x\le 15.$$
С учётом области определения $$4\lg x-24\ge 0$$, то есть $$\lg x\ge 6$$, получаем $$\lg x\in[7;9).$$
Объединяя оба случая, имеем
$$x\in[10^7;+\infty).$$
б) Рассмотрим уравнение
$$\sqrt{9\lg x-3}=1-4\lg x.$$
Так как левая часть неотрицательна, то должно быть
$$1-4\lg x\ge 0,$$
то есть $$\lg x\le \frac14.$$
Возведём в квадрат:
$$9\lg x-3=(1-4\lg x)^2.$$
Получаем
$$-16\lg^2 x+17\lg x-4=0.$$
Дискриминант:
$$D=17^2-4\cdot16\cdot4=33.$$
Тогда
$$\lg x=\frac{17\pm\sqrt{33}}{32}.$$
Оба корня больше $$\frac14$$, поэтому условию $$\lg x\le \frac14$$ не удовлетворяют.
Следовательно, решений нет.
в) Рассмотрим уравнение
$$\sqrt{4\lg x-16}=7-\lg x.$$
Возведём в квадрат:
$$4\lg x-16=(7-\lg x)^2.$$
Получаем
$$\lg^2 x-18\lg x+65=0.$$
Пусть $$t=\lg x$$. Тогда
$$t^2-18t+65=0,$$
$$D=18^2-4\cdot65=64,$$
$$t_1=5,\quad t_2=13.$$
С учётом условия $$7-\lg x\ge 0$$ получаем $$\lg x\le 7$$, значит подходит только $$\lg x=5$$, то есть $$x=10^5$$.
Теперь решим неравенство
$$\sqrt{4\lg x-16}\ge 7-\lg x.$$
Если $$7-\lg x\le 0$$, то $$\lg x\ge 7$$, и неравенство выполняется.
Если $$7-\lg x>0$$, то после возведения в квадрат получаем
$$\lg^2 x-18\lg x+65\ge 0.$$
Это верно при $$\lg x\le 5$$ или $$\lg x\ge 13$$. С учётом области определения $$\lg x\ge 4$$ и условия $$\lg x<7$$ получаем $$\lg x\in[4;5].$$
Объединяя с случаем $$\lg x\ge 7$$, имеем
$$x\in[10^4;10^5]\cup[10^7;+\infty).$$
г) Рассмотрим уравнение
$$\sqrt{12\lg x-8}=1-3\lg x.$$
Так как правая часть неотрицательна, то
$$1-3\lg x\ge 0,$$
то есть $$\lg x\le \frac13.$$
Возведём в квадрат:
$$12\lg x-8=(1-3\lg x)^2.$$
Получаем
$$9\lg^2 x-18\lg x+9=0,$$
$$9(\lg x-1)^2=0,$$
откуда $$\lg x=1.$$
Но это противоречит условию $$\lg x\le \frac13$$, значит уравнение решений не имеет.
Теперь решим неравенство
$$\sqrt{12\lg x-8}\le 1-3\lg x.$$
Если $$1-3\lg x\ge 0$$, то после возведения в квадрат получаем
$$12\lg x-8\le (1-3\lg x)^2,$$
то есть
$$9(\lg x-1)^2\ge 0,$$
что верно при всех допустимых $$x$$. С учётом условий
$$12\lg x-8\ge 0,\qquad 1-3\lg x\ge 0,$$
получаем
$$\lg x\ge \frac23,\qquad \lg x\le \frac13,$$
что невозможно. Следовательно, решений нет.
Ответ
а) $$x\in[10^7;+\infty)$$; б) решений нет; в) $$x\in[10^4;10^5]\cup[10^7;+\infty)$$; г) решений нет.
