Упр.11.61 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
б) log1/9(х+8) + log1/9(x) > = -1;
в) log2(х) + log2(x — 2) < = 3;
г) log1/3(х+6) + log1/3(x) > = -3.
а)
$$\lg x+\lg(x+3)\le 1$$
ОДЗ: $$x>0$$.
$$\lg\bigl(x(x+3)\bigr)\le \lg 10$$
Так как функция $$\lg x$$ возрастает, получаем:
$$x(x+3)\le 10$$
$$x^2+3x-10\le 0$$
$$\left(x+5\right)\left(x-2\right)\le 0$$
$$x\in[-5;2]$$
С учётом ОДЗ:
$$x\in(0;2]$$
б)
$$\log_{\frac19}(x+8)+\log_{\frac12}x\ge -1$$
ОДЗ: $$x>0$$.
$$\log_{\frac19}(x+8)+\log_{\frac12}x+1\ge 0$$
Преобразуем к произведению:
$$\log_{\frac19}(x+8)+\log_{\frac12}x=\log_{\frac19}\bigl((x+8)x\bigr)$$
Тогда
$$\log_{\frac19}\bigl(x(x+8)\bigr)\ge -1$$
Так как основание $$\frac19<1$$, знак неравенства меняется:
$$x(x+8)\le 9$$
$$x^2+8x-9\le 0$$
$$\left(x+9\right)\left(x-1\right)\le 0$$
$$x\in[-9;1]$$
С учётом ОДЗ:
$$x\in(0;1]$$
в)
$$\log_2 x+\log_2(x-2)\le 3$$
ОДЗ: $$x>2$$.
$$\log_2\bigl(x(x-2)\bigr)\le \log_2 8$$
Так как функция $$\log_2 x$$ возрастает, получаем:
$$x(x-2)\le 8$$
$$x^2-2x-8\le 0$$
$$\left(x-4\right)\left(x+2\right)\le 0$$
$$x\in[-2;4]$$
С учётом ОДЗ:
$$x\in(2;4]$$
г)
$$\log_{\frac13}(x+6)+\log_{\frac13}x\ge -3$$
ОДЗ: $$x>0$$.
$$\log_{\frac13}\bigl(x(x+6)\bigr)\ge -3$$
Так как основание $$\frac13<1$$, знак неравенства меняется:
$$x(x+6)\le 27$$
$$x^2+6x-27\le 0$$
$$\left(x-3\right)\left(x+9\right)\le 0$$
$$x\in[-9;3]$$
С учётом ОДЗ:
$$x\in(0;3]$$
Ответ
а) $$\,(0;2]$$; б) $$\,(0;1]$$; в) $$\,(2;4]$$; г) $$\,(0;3]$$.
