Упр.11.60 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
а) $$3^{\frac{3}{2}-6x^2}\ge 3^{8x}$$
Так как основание $$3>1$$, сравниваем показатели:
$$\frac{3}{2}-6x^2\ge 8x$$
$$3-12x^2\ge 16x$$
$$12x^2+16x-3\le 0$$
Найдём корни квадратного трёхчлена:
$$D=16^2-4\cdot 12\cdot(-3)=400$$
$$x_{1,2}=\frac{-16\pm 20}{24}$$
$$x_1=-\frac{3}{2},\quad x_2=\frac{1}{6}$$
Так как ветви параболы направлены вверх, то
$$x\in\left[-\frac{3}{2};\frac{1}{6}\right]$$
б) $$2^{\frac{5}{2}-4x^2}\ge 2^{9x}$$
Так как основание $$2>1$$, сравниваем показатели:
$$\frac{5}{2}-4x^2\ge 9x$$
$$5-8x^2\ge 18x$$
$$8x^2+18x-5\le 0$$
Найдём корни:
$$D=18^2-4\cdot 8\cdot(-5)=484$$
$$x_{1,2}=\frac{-18\pm 22}{16}$$
$$x_1=-\frac{5}{2},\quad x_2=\frac{1}{4}$$
Следовательно,
$$x\in\left[-\frac{5}{2};\frac{1}{4}\right]$$
в) $$2^{2-5x^2}\le 2^{9x}$$
Так как основание $$2>1$$, сравниваем показатели:
$$2-5x^2\le 9x$$
$$5x^2+9x-2\ge 0$$
Найдём корни:
$$D=9^2-4\cdot 5\cdot(-2)=121$$
$$x_{1,2}=\frac{-9\pm 11}{10}$$
$$x_1=-2,\quad x_2=\frac{1}{5}$$
Так как ветви параболы направлены вверх, то
$$x\in(-\infty;-2]\cup\left[\frac{1}{5};+\infty\right)$$
г) $$5^{3-5x^2}\le 5^{8x}$$
Так как основание $$5>1$$, сравниваем показатели:
$$3-5x^2\le 8x$$
$$5x^2+8x-3\ge 0$$
Найдём корни:
$$D=8^2-4\cdot 5\cdot(-3)=124$$
$$x_{1,2}=\frac{-8\pm \sqrt{124}}{10}=\frac{-4\pm \sqrt{31}}{5}$$
Следовательно,
$$x\in\left(-\infty;\frac{-4-\sqrt{31}}{5}\right]\cup\left[\frac{-4+\sqrt{31}}{5};+\infty\right)$$
Ответ
а) $$x\in\left[-\frac{3}{2};\frac{1}{6}\right]$$; б) $$x\in\left[-\frac{5}{2};\frac{1}{4}\right]$$; в) $$x\in(-\infty;-2]\cup\left[\frac{1}{5};+\infty\right)$$; г) $$x\in\left(-\infty;\frac{-4-\sqrt{31}}{5}\right]\cup\left[\frac{-4+\sqrt{31}}{5};+\infty\right)$$.
