Упр.11.59 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 11.59

Подробный ответ

а)
$$0{,}0625\cdot 4^x \le 64^{1/x}$$
$$4^{-2}\cdot 4^x \le 4^{4/x}$$
$$4^{x-2} \le 4^{4/x}$$
$$x-2 \le \frac{4}{x}$$
$$x^2-2x-4 \le 0,\qquad x\ne 0$$
Корни квадратного трёхчлена:
$$x_{1,2}=1\pm \sqrt5.$$
Тогда
$$x^2-2x-4 \le 0 \;\;\Longrightarrow\;\; x\in [1-\sqrt5;\,1+\sqrt5].$$
С учётом условия $$x\ne 0$$ получаем
$$x\in [1-\sqrt5;\,0)\cup (0;\,1+\sqrt5].$$
б)
$$9\cdot 3 \le \left(\frac{1}{27}\right)^{1/x}$$
$$3^2\cdot 3 \le \left(3^{-3}\right)^{1/x}$$
$$3^3 \le 3^{-3/x}$$
$$3 \le -\frac{3}{x},\qquad x\ne 0$$
$$x\left(3+\frac{3}{x}\right)\le 0$$
Удобнее записать сразу:
$$7 \le -\frac{3}{x}$$
$$7x+3 \le 0 \quad \text{при } x<0,$$
$$7x+3 \ge 0 \quad \text{при } x>0.$$
Отсюда
$$x\in \left[-\frac{3}{7};\,0\right).$$
в)
$$0{,}2 \le \left(\frac{1}{25}\right)^{1/x}\cdot \left(\frac{1}{125}\right)^{1/x^2}$$
$$\frac15 \le \left(\frac15\right)^{2/x}\cdot \left(\frac15\right)^{3/x^2}$$
$$\frac15 \le \left(\frac15\right)^{\frac{2x+3}{x^2}}$$
$$\frac{2x+3}{x^2}\le 1,\qquad x\ne 0$$
$$2x+3-x^2\le 0$$
$$x^2-2x-3\ge 0$$
$$(x+1)(x-3)\ge 0.$$
Тогда
$$x\in (-\infty;\,-1]\cup [3;\,+\infty).$$
г)
$$7 \le \left(\frac{1}{49}\right)^{1/x}\cdot \left(\frac{1}{343}\right)^{1/x^2}$$
$$7 \le 7^{-2/x}\cdot 7^{-3/x^2}$$
$$7 \le 7^{\frac{-2x-3}{x^2}},\qquad x\ne 0$$
$$1 \le \frac{-2x-3}{x^2}$$
$$x^2+2x+3 \le 0.$$
Но
$$x^2+2x+3=(x+1)^2+2>0$$
при всех $$x$$, значит неравенство решений не имеет.