Упр.11.58 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 11.58

Подробный ответ

а) Рассмотрим неравенство
$$\frac{(2x+3)\sqrt{x-2}}{x-6{,}6}\ge \frac{5\sqrt{x-2}}{x-5}.$$
ОДЗ: $$x\ge 2,\quad x\ne 5,\quad x\ne 6{,}6.$$
Перенесём всё в одну сторону и вынесем общий множитель:
$$\sqrt{x-2}\left(\frac{2x+3}{x-6{,}6}-\frac{5}{x-5}\right)\ge 0.$$
Приведём к общему знаменателю:
$$\sqrt{x-2}\cdot \frac{(x-3)^2}{(x-6{,}6)(x-5)}\ge 0.$$
Так как $$\sqrt{x-2}\ge 0,$$ а $$ (x-3)^2\ge 0,$$ знак выражения определяется знаменателем. Получаем
$$\frac{1}{(x-6{,}6)(x-5)}\ge 0.$$
Отсюда
$$x\in [2;5)\cup (6{,}6;+\infty).$$
б) Рассмотрим неравенство
$$\frac{3x+1}{(2x+1)\sqrt{x-2}}\le \frac{1}{(x+1)\sqrt{2-x}}.$$
Для действительных значений выражений необходимо одновременно $$x-2\ge 0$$ и $$2-x\ge 0,$$ значит $$x=2.$$
При $$x=2$$ левая часть не определена, так как $$\sqrt{x-2}=0$$ в знаменателе. Следовательно, решений нет.
в) Рассмотрим неравенство
$$\frac{(2x-7)\sqrt{x-1}}{x-3}\ge \frac{9\sqrt{x-1}}{5-x}.$$
ОДЗ: $$x\ge 1,\quad x\ne 3,\quad x\ne 5.$$
Перенесём в одну сторону:
$$\sqrt{x-1}\left(\frac{2x-7}{x-3}-\frac{9}{5-x}\right)\ge 0.$$
Приведём к общему знаменателю:
$$\sqrt{x-1}\cdot \frac{-2(x-2)^2}{(x-3)(5-x)}\ge 0.$$
Так как $$\sqrt{x-1}\ge 0$$ и $$ (x-2)^2\ge 0,$$ получаем
$$\frac{1}{(x-3)(5-x)}\le 0.$$
Отсюда
$$x\in [1;3)\cup (5;+\infty).$$
г) Рассмотрим неравенство
$$\frac{1}{(x+1)\sqrt{9-x}}\le \frac{4-x}{(8-x)\sqrt{9-x}}.$$
ОДЗ: $$x<9,\quad x\ne -1,\quad x\ne 8.$$
Перенесём всё в одну сторону:
$$\frac{1}{\sqrt{9-x}}\left(\frac{1}{x+1}-\frac{4-x}{8-x}\right)\le 0.$$
Приведём к общему знаменателю:
$$\frac{1}{\sqrt{9-x}}\cdot \frac{(x+2)^2}{(x+1)(8-x)}\le 0.$$
Так как $$\frac{1}{\sqrt{9-x}}>0,$$ а $$ (x+2)^2\ge 0,$$ получаем
$$\frac{1}{(x+1)(8-x)}\le 0.$$
Следовательно,
$$x\in (-\infty;-1)\cup (8;9).$$