Упр.11.57 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 11.57

а) Перенесём всё в правую часть:

$$\frac{\sqrt{12-x-x^2}}{2x+7}-\frac{\sqrt{12-x-x^2}}{x-5}\ge 0$$

$$\frac{(x+12)\sqrt{12-x-x^2}}{(2x+7)(x-5)}\ge 0$$

Рассмотрим систему для нулей числителя и знака выражения:

$$ \begin{cases} \frac{(x+12)\sqrt{12-x-x^2}}{(2x+7)(x-5)}=0,\\ \frac{(x+12)\sqrt{12-x-x^2}}{(2x+7)(x-5)}>0. \end{cases} $$

Из уравнения получаем корни $$x=-12,\,-4,\,3$$, но подходят только те, которые лежат в области определения:

$$12-x-x^2\ge 0 \;\Longrightarrow\; x\in[-4;3].$$

Кроме того, $$2x+7\ne 0$$ и $$x-5\ne 0$$, значит $$x\ne -\frac72$$.

На промежутке $$[-4;3]$$ знак выражения определяется дробью

$$\frac{x+12}{(2x+7)(x-5)}$$

и положителен на промежутке $$(-4;-\frac72)$$. Точка $$x=-4$$ также подходит, так как обращает числитель в ноль.

Итак,

$$x\in\left[-4;-\frac72\right).$$

б) Аналогично:

$$\frac{\sqrt{8-2x-x^2}}{2x+9}-\frac{\sqrt{8-2x-x^2}}{x-5}\le 0$$

$$\frac{(x+14)\sqrt{8-2x-x^2}}{(2x+9)(x-5)}\le 0$$

Область определения:

$$8-2x-x^2\ge 0 \;\Longrightarrow\; x\in[-4;2].$$

На этом промежутке выражение

$$\frac{x+14}{(2x+9)(x-5)}$$

неположительно при всех допустимых значениях, кроме точки $$x=-\frac92$$, где знаменатель равен нулю. Но эта точка не входит в $$[-4;2]$$.

Следовательно,

$$x\in[-4;2].$$

в) Имеем:

$$\frac{\sqrt{18-3x-x^2}}{x-2}\le \frac{\sqrt{18-3x-x^2}}{2x+3}$$

$$\frac{(x+5)\sqrt{18-3x-x^2}}{(x-2)(2x+3)}\le 0$$

Область определения:

$$18-3x-x^2\ge 0 \;\Longrightarrow\; x\in[-6;3].$$

На этом множестве знак выражения определяется дробью

$$\frac{x+5}{(x-2)(2x+3)}$$

и решение получается:

$$x\in\{-6\}\cup(-5;-\tfrac32)\cup(2;3].$$

г) Получаем:

$$\frac{\sqrt{6+x-x^2}}{2x+5}\le \frac{\sqrt{6+x-x^2}}{x+4}$$

$$\frac{(x+1)\sqrt{6+x-x^2}}{(2x+5)(x+4)}\le 0$$

Область определения:

$$6+x-x^2\ge 0 \;\Longrightarrow\; x\in[-2;3].$$

На этом промежутке решение:

$$x\in[-2;-1].$$

Ответ

а) $$x\in\left[-4;-\frac72\right)$$

б) $$x\in[-4;2]$$

в) $$x\in\{-6\}\cup(-5;-\tfrac32)\cup(2;3]$$

г) $$x\in[-2;-1]$$