Упр.11.55 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
- 11.55. Решите неравенство:
а) $$\left(x^2-4x+3\right)\sqrt{x-2}\geq 0$$;
б) $$\left(x^2-3x-10\right)\sqrt{3-x}\geq 0$$;
в) $$\left(x^2-2x-15\right)\sqrt{x+4}\leq 0$$;
г) $$\left(x^2+x-6\right)\sqrt{x+5}\leq 0$$.
а) $$\left(x^2-4x+3\right)\sqrt{x-2}\ge 0$$
Область определения: $$x\ge 2.$$
Так как $$\sqrt{x-2}\ge 0,$$ то неравенство равносильно системе
$$\begin{cases} \left(x^2-4x+3\right)\sqrt{x-2}=0,\\ \left(x^2-4x+3\right)\sqrt{x-2}>0. \end{cases}$$
Из уравнения получаем корни $$x=1,\;2,\;3.$$ С учётом ОДЗ подходит только $$x=2$$ и $$x=3.$$
При $$x>2$$ нужно, чтобы $$x^2-4x+3>0,$$ то есть
$$(x-1)(x-3)>0 \;\Rightarrow\; x\in(-\infty;1)\cup(3;+\infty).$$
С учётом $$x\ge 2$$ получаем $$x\in(3;+\infty).$$
Итак, $$x\in\{2\}\cup(3;+\infty).$$
б) $$\left(x^2-3x-10\right)\sqrt{3-x}\ge 0$$
Область определения: $$x\le 3.$$
Так как $$\sqrt{3-x}\ge 0,$$ то неравенство равносильно системе
$$\begin{cases} \left(x^2-3x-10\right)\sqrt{3-x}=0,\\ \left(x^2-3x-10\right)\sqrt{3-x}>0. \end{cases}$$
Из уравнения получаем корни $$x=5,\;-2,\;3.$$ С учётом ОДЗ подходят $$x=-2$$ и $$x=3.$$
При $$x<3$$ нужно, чтобы $$x^2-3x-10>0,$$ то есть
$$(x-5)(x+2)>0 \;\Rightarrow\; x\in(-\infty;-2)\cup(5;+\infty).$$
С учётом $$x\le 3$$ получаем $$x\in(-\infty;-2).$$
Итак, $$x\in(-\infty;-2]\cup\{3\}.$$
в) $$\left(x^2-2x-15\right)\sqrt{x+4}\le 0$$
Область определения: $$x\ge -4.$$
Так как $$\sqrt{x+4}\ge 0,$$ то неравенство равносильно системе
$$\begin{cases} \left(x^2-2x-15\right)\sqrt{x+4}=0,\\ \left(x^2-2x-15\right)\sqrt{x+4}<0. \end{cases}$$
Из уравнения получаем корни $$x=5,\;-3,\;-4.$$ Все они принадлежат ОДЗ.
При $$x>-4$$ нужно, чтобы $$x^2-2x-15<0,$$ то есть
$$(x-5)(x+3)<0 \;\Rightarrow\; x\in(-3;5).$$
С учётом ОДЗ и корней уравнения получаем
$$x\in[-4;-3]\cup\{5\}.$$
г) $$\left(x^2+x-6\right)\sqrt{x+5}\le 0$$
Область определения: $$x\ge -5.$$
Так как $$\sqrt{x+5}\ge 0,$$ то неравенство равносильно системе
$$\begin{cases} \left(x^2+x-6\right)\sqrt{x+5}=0,\\ \left(x^2+x-6\right)\sqrt{x+5}<0. \end{cases}$$
Из уравнения получаем корни $$x=-3,\;2,\;-5.$$ Все они принадлежат ОДЗ.
При $$x>-5$$ нужно, чтобы $$x^2+x-6<0,$$ то есть
$$(x+3)(x-2)<0 \;\Rightarrow\; x\in(-3;2).$$
С учётом корней уравнения получаем
$$x\in\{-5\}\cup[-3;2].$$
Ответ
а) $$x\in\{2\}\cup(3;+\infty)$$; б) $$x\in(-\infty;-2]\cup\{3\}$$; в) $$x\in[-4;-3]\cup\{5\}$$; г) $$x\in\{-5\}\cup[-3;2]$$.
