Упр.11.54 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

б) sin3x > |sinx|, [-3пи/2;3пи/2].

а) Рассмотрим неравенство $$\cos 3x>|\cos x|.$$

Если $$\cos 3x<0,$$ то решений нет, так как левая часть отрицательна, а правая неотрицательна. Значит, нужно рассматривать только случай $$\cos 3x\ge 0.$$ Тогда

$$ |\cos x|<\cos 3x \iff -\cos 3x<\cos x<\cos 3x. $$

Это равносильно системе

$$ \begin{cases} \cos x+\cos 3x>0,\\ \cos x-\cos 3x<0. \end{cases} $$

Используем формулы:

$$ \cos x+\cos 3x=2\cos 2x\cos x, $$
$$ \cos x-\cos 3x=2\sin 2x\sin x. $$

Тогда получаем систему знаков, из которой следует

$$ x\in\left(-\frac{3\pi}{4}+ \pi k;\,-\frac{\pi}{2}+\pi k\right)\cup \left(\frac{\pi}{2}+\pi k;\,\frac{3\pi}{4}+\pi k\right),\quad k\in\mathbb Z. $$

С учётом промежутка $$\left[-\frac{5\pi}{4};\frac{5\pi}{6}\right]$$ получаем

$$ x\in\left(-\frac{3\pi}{4};-\frac{\pi}{2}\right)\cup\left(\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{4}\right). $$

б) Рассмотрим неравенство $$\sin 3x>|\sin x|.$$

Если $$\sin 3x<0,$$ то решений нет. Значит, нужно решать при $$\sin 3x\ge 0.$$ Тогда

$$ |\sin x|<\sin 3x \iff -\sin 3x<\sin x<\sin 3x. $$

Это равносильно системе

$$ \begin{cases} \sin x+\sin 3x>0,\\ \sin x-\sin 3x<0. \end{cases} $$

Используем формулы:

$$ \sin x+\sin 3x=2\sin 2x\cos x, $$
$$ \sin x-\sin 3x=-2\sin x\cos 2x. $$

После исследования знаков получаем

$$ x\in\left(-\frac{5\pi}{4};-\pi\right)\cup\left(0;\frac{\pi}{4}\right). $$

С учётом промежутка $$\left[-\frac{3\pi}{2};\frac{3\pi}{2}\right]$$ это и есть все решения.

Ответ

а) $$x\in\left(-\frac{3\pi}{4};-\frac{\pi}{2}\right)\cup\left(\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{4}\right);$$

б) $$x\in\left(-\frac{5\pi}{4};-\pi\right)\cup\left(0;\frac{\pi}{4}\right).$$