Упр.11.53 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

б) корень (sin^2 х — 2 sin2x + 3cos^2 x) > sinx — cosx, (5пи/4;9пи/4).

а) Рассмотрим неравенство

$$\sqrt{\sin^2 x+\sin 2x-3\cos^2 x}>\cos x-\sin x,\qquad \left(\frac{\pi}{4};\frac{5\pi}{4}\right).$$

На промежутке $$\left(\frac{\pi}{4};\frac{5\pi}{4}\right)$$ имеем

$$\cos x-\sin x<0.$$

Значит, для всех решений из этого промежутка достаточно и необходимо выполнение

$$\sin^2 x+\sin 2x-3\cos^2 x\ge 0.$$

Преобразуем:

$$\sin^2 x+2\sin x\cos x-3\cos^2 x\ge 0,$$

$$\sin^2 x+2\sin x\cos x-3\cos^2 x=(\sin x+3\cos x)(\sin x-\cos x).$$

На промежутке $$\left(\frac{\pi}{4};\frac{5\pi}{4}\right)$$ выполняется

$$\sin x-\cos x>0,$$

поэтому неравенство равносильно

$$\sin x+3\cos x\ge 0.$$

Введём угол $$\alpha=\arcsin\frac{3}{\sqrt{10}}.$$ Тогда

$$\sin x+3\cos x=\sqrt{10}\,\sin(x+\alpha),$$

и получаем

$$\sin(x+\alpha)\ge 0.$$

Отсюда

$$x\in[2\pi k-\alpha,\ \pi-\alpha+2\pi k],\qquad k\in\mathbb Z.$$

С учётом промежутка $$\left(\frac{\pi}{4};\frac{5\pi}{4}\right)$$ подходит только

$$x\in\left[\frac{\pi}{4};\ \pi-\arcsin\frac{3}{\sqrt{10}}\right].$$

б) Рассмотрим неравенство

$$\sqrt{\sin^2 x-2\sin 2x+3\cos^2 x}>\sin x-\cos x,\qquad \left(\frac{5\pi}{4};\frac{9\pi}{4}\right).$$

На промежутке $$\left(\frac{5\pi}{4};\frac{9\pi}{4}\right)$$ имеем

$$\sin x-\cos x<0.$$

Следовательно, достаточно и необходимо

$$\sin^2 x-2\sin 2x+3\cos^2 x\ge 0.$$

Преобразуем:

$$\sin^2 x-4\sin x\cos x+3\cos^2 x\ge 0,$$

$$\sin^2 x-4\sin x\cos x+3\cos^2 x=(\sin x-3\cos x)(\sin x-\cos x).$$

На данном промежутке $$\sin x-\cos x>0,$$ поэтому неравенство равносильно

$$\sin x-3\cos x\ge 0.$$

Введём угол $$\beta=\arcsin\frac{3}{\sqrt{10}}.$$ Тогда

$$\sin x-3\cos x=\sqrt{10}\,\sin(x-\beta),$$

и получаем

$$\sin(x-\beta)\ge 0.$$

Отсюда

$$x\in[2\pi k+\beta,\ \pi+\beta+2\pi k],\qquad k\in\mathbb Z.$$

С учётом промежутка $$\left(\frac{5\pi}{4};\frac{9\pi}{4}\right)$$ получаем

$$x\in\left[\frac{5\pi}{4};\ \pi+\arcsin\frac{3}{\sqrt{10}}\right].$$

Ответ

а) $$x\in\left[\frac{\pi}{4};\ \pi-\arcsin\frac{3}{\sqrt{10}}\right];$$

б) $$x\in\left[\frac{5\pi}{4};\ \pi+\arcsin\frac{3}{\sqrt{10}}\right].$$