Упр.11.53 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
- а) $$\sqrt{\sin^2 x+\sin 2x-3\cos^2 x}>\cos x-\sin x$$;
б) $$\sqrt{\sin^2 x-2\sin 2x+3\cos^2 x}>\sin x-\cos x$$.
а) Рассмотрим неравенство
$$\sqrt{\sin^2 x+\sin 2x-3\cos^2 x}>\cos x-\sin x,\qquad \left(\frac{\pi}{4};\frac{5\pi}{4}\right).$$
На промежутке $$\left(\frac{\pi}{4};\frac{5\pi}{4}\right)$$ имеем
$$\cos x-\sin x<0.$$
Значит, для всех решений из этого промежутка достаточно и необходимо выполнение
$$\sin^2 x+\sin 2x-3\cos^2 x\ge 0.$$
Преобразуем:
$$\sin^2 x+2\sin x\cos x-3\cos^2 x\ge 0,$$
$$\sin^2 x+2\sin x\cos x-3\cos^2 x=(\sin x+3\cos x)(\sin x-\cos x).$$
На промежутке $$\left(\frac{\pi}{4};\frac{5\pi}{4}\right)$$ выполняется
$$\sin x-\cos x>0,$$
поэтому неравенство равносильно
$$\sin x+3\cos x\ge 0.$$
Введём угол $$\alpha=\arcsin\frac{3}{\sqrt{10}}.$$ Тогда
$$\sin x+3\cos x=\sqrt{10}\,\sin(x+\alpha),$$
и получаем
$$\sin(x+\alpha)\ge 0.$$
Отсюда
$$x\in[2\pi k-\alpha,\ \pi-\alpha+2\pi k],\qquad k\in\mathbb Z.$$
С учётом промежутка $$\left(\frac{\pi}{4};\frac{5\pi}{4}\right)$$ подходит только
$$x\in\left[\frac{\pi}{4};\ \pi-\arcsin\frac{3}{\sqrt{10}}\right].$$
б) Рассмотрим неравенство
$$\sqrt{\sin^2 x-2\sin 2x+3\cos^2 x}>\sin x-\cos x,\qquad \left(\frac{5\pi}{4};\frac{9\pi}{4}\right).$$
На промежутке $$\left(\frac{5\pi}{4};\frac{9\pi}{4}\right)$$ имеем
$$\sin x-\cos x<0.$$
Следовательно, достаточно и необходимо
$$\sin^2 x-2\sin 2x+3\cos^2 x\ge 0.$$
Преобразуем:
$$\sin^2 x-4\sin x\cos x+3\cos^2 x\ge 0,$$
$$\sin^2 x-4\sin x\cos x+3\cos^2 x=(\sin x-3\cos x)(\sin x-\cos x).$$
На данном промежутке $$\sin x-\cos x>0,$$ поэтому неравенство равносильно
$$\sin x-3\cos x\ge 0.$$
Введём угол $$\beta=\arcsin\frac{3}{\sqrt{10}}.$$ Тогда
$$\sin x-3\cos x=\sqrt{10}\,\sin(x-\beta),$$
и получаем
$$\sin(x-\beta)\ge 0.$$
Отсюда
$$x\in[2\pi k+\beta,\ \pi+\beta+2\pi k],\qquad k\in\mathbb Z.$$
С учётом промежутка $$\left(\frac{5\pi}{4};\frac{9\pi}{4}\right)$$ получаем
$$x\in\left[\frac{5\pi}{4};\ \pi+\arcsin\frac{3}{\sqrt{10}}\right].$$
Ответ
а) $$x\in\left[\frac{\pi}{4};\ \pi-\arcsin\frac{3}{\sqrt{10}}\right];$$
б) $$x\in\left[\frac{5\pi}{4};\ \pi+\arcsin\frac{3}{\sqrt{10}}\right].$$
