Упр.11.52 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 11.52

Подробный ответ

а)

$$2\sin\frac{\pi x}{4}\cos\frac{\pi x}{4}+\sqrt3\cos\frac{\pi x}{4}+\sin\frac{\pi x}{4}+\frac{\sqrt3}{2}>0$$

$$\sin\frac{\pi x}{4}\left(2\cos\frac{\pi x}{4}+1\right)+\frac{\sqrt3}{2}\left(2\cos\frac{\pi x}{4}+1\right)>0$$

$$\left(2\cos\frac{\pi x}{4}+1\right)\left(\sin\frac{\pi x}{4}+\frac{\sqrt3}{2}\right)>0$$

Это неравенство выполняется, если оба множителя положительны или оба отрицательны:

$$ \begin{cases} 2\cos\frac{\pi x}{4}+1>0,\\ \sin\frac{\pi x}{4}+\frac{\sqrt3}{2}>0 \end{cases} \qquad \text{или} \qquad \begin{cases} 2\cos\frac{\pi x}{4}+1<0,\\ \sin\frac{\pi x}{4}+\frac{\sqrt3}{2}<0 \end{cases} $$

То есть

$$ \begin{cases} \cos\frac{\pi x}{4}>-\frac12,\\ \sin\frac{\pi x}{4}>-\frac{\sqrt3}{2} \end{cases} \qquad \text{или} \qquad \begin{cases} \cos\frac{\pi x}{4}<-\frac12,\\ \sin\frac{\pi x}{4}<-\frac{\sqrt3}{2} \end{cases} $$

Отсюда

$$\frac{\pi x}{4}\in\left(-\frac{\pi}{3}+2\pi k;\,\frac{2\pi}{3}+2\pi k\right),\quad k\in\mathbb Z,$$

$$x\in\left(-\frac43+8k;\,\frac83+8k\right),\quad k\in\mathbb Z.$$

На промежутке $$[-1;5]$$ получаем

$$x\in\left[-1;\frac83\right).$$

б)

$$2\sin\frac{\pi x}{6}\cos\frac{\pi x}{6}+\sqrt2\cos\frac{\pi x}{6}+\sqrt3\sin\frac{\pi x}{6}+\frac{\sqrt6}{2}<0$$

$$2\sin\frac{\pi x}{6}\left(\cos\frac{\pi x}{6}+\frac{\sqrt3}{2}\right)+\sqrt2\left(\cos\frac{\pi x}{6}+\frac{\sqrt3}{2}\right)<0$$

$$\left(\cos\frac{\pi x}{6}+\frac{\sqrt3}{2}\right)\left(2\sin\frac{\pi x}{6}+\sqrt2\right)<0$$

Произведение отрицательно, если множители разных знаков:

$$ \begin{cases} \cos\frac{\pi x}{6}<-\frac{\sqrt3}{2},\\ \sin\frac{\pi x}{6}>-\frac{\sqrt2}{2} \end{cases} \qquad \text{или} \qquad \begin{cases} \cos\frac{\pi x}{6}>-\frac{\sqrt3}{2},\\ \sin\frac{\pi x}{6}<-\frac{\sqrt2}{2} \end{cases} $$

Отсюда

$$\frac{\pi x}{6}\in\left(\frac{5\pi}{6}+2\pi n;\,\frac{7\pi}{6}+2\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z,$$

$$x\in(5+12n;\,7+12n),\quad n\in\mathbb Z,$$

$$\frac{\pi x}{6}\in\left(-\frac{3\pi}{4}+2\pi k;\,-\frac{\pi}{4}+2\pi k\right),\quad k\in\mathbb Z,$$

$$x\in(-\frac92+12k;\,-\frac32+12k),\quad k\in\mathbb Z.$$

На промежутке $$[5;13]$$ получаем

$$x\in(5;7)\cup(7{,}5;10{,}5).$$