Упр.11.51 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 11.51

Подробный ответ

а)

$$2\sin x\cos x+\frac{\sqrt2}{2}-\cos x-\sqrt2\sin x>0$$
$$\cos x(2\sin x-1)+\frac{\sqrt2}{2}(1-2\sin x)>0$$
$$\left(2\sin x-1\right)\left(\cos x-\frac{\sqrt2}{2}\right)>0$$

Произведение положительно, когда оба множителя одного знака:

$$ \begin{cases} 2\sin x-1>0\\ \cos x-\frac{\sqrt2}{2}>0 \end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} 2\sin x-1<0\\ \cos x-\frac{\sqrt2}{2}<0 \end{cases} $$

Отсюда:

$$ \begin{cases} \sin x>\frac12\\ \cos x>\frac{\sqrt2}{2} \end{cases} \Rightarrow x\in\left(\frac{\pi}{6}+2\pi k;\frac{\pi}{4}+2\pi k\right),\ k\in\mathbb Z $$

$$ \begin{cases} \sin x<\frac12\\ \cos x<\frac{\sqrt2}{2} \end{cases} \Rightarrow x\in\left(\frac{5\pi}{6}+2\pi k;\frac{7\pi}{4}+2\pi k\right),\ k\in\mathbb Z $$

С учётом промежутка $$\left[-\frac{2\pi}{3};\frac{4\pi}{3}\right]$$ получаем:

$$x\in\left(\frac{\pi}{6};\frac{\pi}{4}\right)\cup\left(\frac{5\pi}{6};\frac{4\pi}{3}\right]$$

б)

$$2\sin x\cos x-\frac{\sqrt3}{2}(1+2\sin x)<0$$
$$\cos x(1+2\sin x)-\frac{\sqrt3}{2}(1+2\sin x)<0$$
$$\left(1+2\sin x\right)\left(\cos x-\frac{\sqrt3}{2}\right)<0$$

Произведение отрицательно, когда множители разных знаков:

$$ \begin{cases} 1+2\sin x<0\\ \cos x-\frac{\sqrt3}{2}>0 \end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} 1+2\sin x>0\\ \cos x-\frac{\sqrt3}{2}<0 \end{cases} $$

То есть:

$$ \begin{cases} \sin x<-\frac12\\ \cos x>\frac{\sqrt3}{2} \end{cases} \Rightarrow \varnothing $$

$$ \begin{cases} \sin x>-\frac12\\ \cos x<\frac{\sqrt3}{2} \end{cases} \Rightarrow x\in\left(\frac{\pi}{6}+2\pi k;\frac{7\pi}{6}+2\pi k\right),\ k\in\mathbb Z $$

На промежутке $$[0;\pi]$$ получаем:

$$x\in\left(\frac{\pi}{6};\pi\right]$$