Упр.11.5 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

а) sinx > cosx, sin^2x > cos^2x;
б) x4 > 5, x > корень 4 степени 5;
в) log3(tgx) > log3(корень 3), tg x > корень 3;
г) log0,2(x2+3) > log0,2(4x), x2+3 < 4x; д) sinx + корень x > sin2x + корень x, sinx > sin2x;
е) (x2-5x)/lgx > -6/lgx, x2-5x > -6;
ж) (x2-5x)/lgx > -6/lgx, x2-5x < -6; з) log2(x) + log2(x+1) > 1, log2(x2+x) > 1;
и) (корень x) корень (x+1) < корень 2, корень (x2+x) < корень 2. В каждом случае выясните, на каком множестве равносильны первое и второе неравенства.

1. а) Второе неравенство получено возведением обеих частей первого неравенства в квадрат:

   $$\sin x>\cos x \;\Rightarrow\; \sin^2 x>\cos^2 x.$$

   Такое преобразование равносильно на множестве, где обе части неравенства неотрицательны:

   $$\sin x\ge 0,\ \cos x\ge 0.$$

   Это выполняется при

   $$x\in\left[2\pi m;\frac{\pi}{2}+2\pi m\right],\quad m\in\mathbb Z.$$

2. б) Второе неравенство получено возведением обеих частей в четвёртую степень:

   $$x^4>5 \;\Rightarrow\; x>\sqrt[4]{5}.$$

   Равносильность сохраняется на множестве положительных чисел:

   $$x\in(0;+\infty).$$

3. в) Второе неравенство получено потенцированием логарифмического неравенства:

   $$\log_3(\tg x)>\log_3\sqrt3 \;\Rightarrow\; \tg x>\sqrt3.$$

   Такое преобразование равносильно при положительных аргументах логарифмов, то есть при

   $$\tg x>0.$$

   Следовательно,

   $$x\in\left(\pi m;\frac{\pi}{2}+\pi m\right),\quad m\in\mathbb Z.$$

4. г) Второе неравенство получено потенцированием логарифмического неравенства:

   $$\log_{0,2}(x^2+3)>\log_{0,2}(4x) \;\Rightarrow\; x^2+3<4x.$$

   Так как основание логарифма меньше 1, знак неравенства меняется. Равносильность сохраняется на множестве положительных аргументов логарифмов:

   $$x^2+3>0,\quad 4x>0.$$

   Достаточно условия

   $$x>0.$$

5. д) Второе неравенство получено приведением подобных слагаемых:

   $$\sin x+\sqrt x>\sin 2x+\sqrt x \;\Rightarrow\; \sin x>\sin 2x.$$

   Равносильность сохраняется на множестве, где определён корень:

   $$x\ge 0.$$

6. е) Второе неравенство получено умножением обеих частей на функцию $$\lg x$$:

   $$\frac{x^2-5x}{\lg x}>\frac{-6}{\lg x} \;\Rightarrow\; x^2-5x>-6.$$

   Равносильность сохраняется там, где $$\lg x>0$$, то есть

   $$x>1.$$

7. ж) Второе неравенство получено умножением обеих частей на функцию $$\lg x$$, но при отрицательном множителе знак неравенства меняется:

   $$\frac{x^2-5x}{\lg x}>\frac{-6}{\lg x} \;\Rightarrow\; x^2-5x<-6.$$

   Равносильность сохраняется при

   $$0<x<1,$$

   так как именно здесь $$\lg x<0.$$

8. з) Второе неравенство получено применением формулы суммы логарифмов:

   $$\log_2 x+\log_2(x+1)>1 \;\Rightarrow\; \log_2(x^2+x)>1.$$

   Равносильность сохраняется на множестве положительных чисел, где оба логарифма определены:

   $$x>0.$$

9. и) Второе неравенство получено с помощью формулы

   $$\sqrt a\cdot\sqrt b=\sqrt{ab}.$$

   Тогда

   $$\sqrt x\cdot\sqrt{x+1}<\sqrt2 \;\Rightarrow\; \sqrt{x^2+x}<\sqrt2.$$

   Равносильность сохраняется на множестве неотрицательных чисел, где определены оба корня:

   $$x\ge 0.$$

Ответ

а) возведение в квадрат; $$x\in\left[2\pi m;\frac{\pi}{2}+2\pi m\right],\ m\in\mathbb Z$$;
б) возведение в четвёртую степень; $$x\in(0;+\infty)$$;
в) потенцирование логарифмического неравенства; $$x\in\left(\pi m;\frac{\pi}{2}+\pi m\right),\ m\in\mathbb Z$$;
г) потенцирование логарифмического неравенства; $$x>0$$;
д) приведение подобных; $$x\ge 0$$;
е) умножение на $$\lg x$$ при $$\lg x>0$$; $$x>1$$;
ж) умножение на $$\lg x$$ при $$\lg x<0$$; $$0<x<1$$;
з) формула суммы логарифмов; $$x>0$$;
и) формула $$\sqrt a\cdot\sqrt b=\sqrt{ab}$$; $$x\ge 0$$.