Упр.11.5 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
11. Объясните, в результате какого преобразования из первого неравенства получено второе:
а) $$\sin x>\cos x,\quad \sin^2x>\cos^2x$$;
б) $$x^4>5,\quad x>\sqrt[4]{5}$$;
в) $$\log_3(\tg x)>\log_3\sqrt{3},\quad \tg x>\sqrt{3}$$;
г) $$\log_{0,2}(x^2+3)>\log_{0,2}(4x),\quad x^2+3<4x$$;
д) $$\sin x+\sqrt{x}>\sin 2x+\sqrt{x},\quad \sin x>\sin 2x$$;
е) $$\frac{x^2-5x}{\lg x}>-\frac{6}{\lg x},\quad x^2-5x>-6$$;
ж) $$\frac{x^2-5x}{\lg x}>-\frac{6}{\lg x},\quad x^2-5x<-6$$;
з) $$\log_2 x+\log_2(x+1)>1,\quad \log_2(x^2+x)>1$$;
и) $$\sqrt{x}\sqrt{x+1}<\sqrt{2},\quad \sqrt{x^2+x}<\sqrt{2}$$.
В каждом случае выясните, на каком множестве равносильны первое и второе неравенства.
а) Второе неравенство получено возведением обеих частей первого неравенства в квадрат:
$$\sin x>\cos x \;\Rightarrow\; \sin^2 x>\cos^2 x.$$
Такое преобразование равносильно на множестве, где обе части неравенства неотрицательны:
$$\sin x\ge 0,\ \cos x\ge 0.$$
Это выполняется при
$$x\in\left[2\pi m;\frac{\pi}{2}+2\pi m\right],\quad m\in\mathbb Z.$$
б) Второе неравенство получено возведением обеих частей в четвёртую степень:
$$x^4>5 \;\Rightarrow\; x>\sqrt[4]{5}.$$
Равносильность сохраняется на множестве положительных чисел:
$$x\in(0;+\infty).$$
в) Второе неравенство получено потенцированием логарифмического неравенства:
$$\log_3(\tg x)>\log_3\sqrt3 \;\Rightarrow\; \tg x>\sqrt3.$$
Такое преобразование равносильно при положительных аргументах логарифмов, то есть при
$$\tg x>0.$$
Следовательно,
$$x\in\left(\pi m;\frac{\pi}{2}+\pi m\right),\quad m\in\mathbb Z.$$
г) Второе неравенство получено потенцированием логарифмического неравенства:
$$\log_{0,2}(x^2+3)>\log_{0,2}(4x) \;\Rightarrow\; x^2+3<4x.$$
Так как основание логарифма меньше 1, знак неравенства меняется. Равносильность сохраняется на множестве положительных аргументов логарифмов:
$$x^2+3>0,\quad 4x>0.$$
Достаточно условия
$$x>0.$$
д) Второе неравенство получено приведением подобных слагаемых:
$$\sin x+\sqrt x>\sin 2x+\sqrt x \;\Rightarrow\; \sin x>\sin 2x.$$
Равносильность сохраняется на множестве, где определён корень:
$$x\ge 0.$$
е) Второе неравенство получено умножением обеих частей на функцию $$\lg x$$:
$$\frac{x^2-5x}{\lg x}>\frac{-6}{\lg x} \;\Rightarrow\; x^2-5x>-6.$$
Равносильность сохраняется там, где $$\lg x>0$$, то есть
$$x>1.$$
ж) Второе неравенство получено умножением обеих частей на функцию $$\lg x$$, но при отрицательном множителе знак неравенства меняется:
$$\frac{x^2-5x}{\lg x}>\frac{-6}{\lg x} \;\Rightarrow\; x^2-5x<-6.$$
Равносильность сохраняется при
$$0<x<1,$$
так как именно здесь $$\lg x<0.$$
з) Второе неравенство получено применением формулы суммы логарифмов:
$$\log_2 x+\log_2(x+1)>1 \;\Rightarrow\; \log_2(x^2+x)>1.$$
Равносильность сохраняется на множестве положительных чисел, где оба логарифма определены:
$$x>0.$$
и) Второе неравенство получено с помощью формулы
$$\sqrt a\cdot\sqrt b=\sqrt{ab}.$$
Тогда
$$\sqrt x\cdot\sqrt{x+1}<\sqrt2 \;\Rightarrow\; \sqrt{x^2+x}<\sqrt2.$$
Равносильность сохраняется на множестве неотрицательных чисел, где определены оба корня:
$$x\ge 0.$$
Ответ
а) возведение в квадрат; $$x\in\left[2\pi m;\frac{\pi}{2}+2\pi m\right],\ m\in\mathbb Z$$;
б) возведение в четвёртую степень; $$x\in(0;+\infty)$$;
в) потенцирование логарифмического неравенства; $$x\in\left(\pi m;\frac{\pi}{2}+\pi m\right),\ m\in\mathbb Z$$;
г) потенцирование логарифмического неравенства; $$x>0$$;
д) приведение подобных; $$x\ge 0$$;
е) умножение на $$\lg x$$ при $$\lg x>0$$; $$x>1$$;
ж) умножение на $$\lg x$$ при $$\lg x<0$$; $$0<x<1$$;
з) формула суммы логарифмов; $$x>0$$;
и) формула $$\sqrt a\cdot\sqrt b=\sqrt{ab}$$; $$x\ge 0$$.
