Упр.11.49 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

а) $$\left(x-\log_{3}(75)\right)\left(x-\log_{2}(22)\right)>0,\quad [3;4]$$
б) $$\left(x-\log_{2}(17)\right)\left(x-\log_{2}(71)\right)<0,\quad [4;5]$$

а) Рассмотрим неравенство

$$\bigl(x-\log_3 75\bigr)\bigl(x-\log_2 22\bigr)>0,$$

произведение положительно, когда оба множителя одного знака:

$$x>\log_3 75 \quad \text{или} \quad x<\log_2 22.$$

Найдём, где расположены числа:

$$3^3=27<75<81=3^4,$$

значит,

$$\log_3 75\in(3;4).$$

Также

$$16<22<32,$$

поэтому

$$\log_2 22\in(4;5).$$

На отрезке $$[3;4]$$ выполняется только условие $$x<\log_3 75.$$ Следовательно,

$$x\in[3;\log_3 75).$$

б) Рассмотрим неравенство

$$\bigl(x-\log_2 17\bigr)\bigl(x-\log_2 71\bigr)<0.$$

Произведение отрицательно, когда множители разных знаков:

$$\log_2 17<x<\log_2 71.$$

Оценим логарифмы:

$$16<17<32 \Rightarrow \log_2 17\in(4;5),$$

$$64<71<128 \Rightarrow \log_2 71\in(6;7).$$

На отрезке $$[4;5]$$ выполняется только условие $$x>\log_2 17.$$ Значит,

$$x\in(\log_2 17;5].$$

Ответ

а) $$[3;\log_3 75)$$; б) $$(\log_2 17;5]$$.