Упр.11.48 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

1. 11.48—11.54. Найдите все решения неравенства, принадлежащие указанному промежутку.

а) Рассмотрим неравенство

$$\left(\sin x-\frac12\right)\left(\sin x+\frac{\sqrt2}{2}\right)>0,\quad (0;\pi).$$

На промежутке $$(0;\pi)$$ выполняется $$\sin x+\frac{\sqrt2}{2}>0,$$ поэтому исходное неравенство равносильно

$$\sin x-\frac12>0.$$

Тогда

$$\sin x>\frac12.$$

На промежутке $$(0;\pi)$$ это выполняется при

$$x\in\left(\frac{\pi}{6};\frac{5\pi}{6}\right).$$

б) Рассмотрим неравенство

$$\left(\cos x+\frac12\right)\left(\cos x-\frac{\sqrt3}{2}\right)>0,\quad \left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right).$$

На промежутке $$\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right)$$ выполняется $$\cos x+\frac12>0,$$ поэтому исходное неравенство равносильно

$$\cos x-\frac{\sqrt3}{2}>0.$$

Тогда

$$\cos x>\frac{\sqrt3}{2}.$$

На промежутке $$\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right)$$ это выполняется при

$$x\in\left(-\frac{\pi}{6};\frac{\pi}{6}\right).$$

Ответ

а) $$\left(\frac{\pi}{6};\frac{5\pi}{6}\right)$$; б) $$\left(-\frac{\pi}{6};\frac{\pi}{6}\right)$$.