Упр.11.47 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 11.47 При каких значениях параметра а все решения неравенства loga(x — 2) > loga(8 — х) содержатся в интервале (1; 5)? *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 nikol11 11-47 118

Область определения логарифмов задаётся условиями

$$x-2>0,\quad 8-x>0,\quad a>0,\quad a\ne 1.$$

Отсюда

$$2<x<8,\quad a>0,\quad a\ne 1.$$

Рассмотрим два случая.

1. Если $$a>1,$$ то логарифмическая функция возрастает, и неравенство равносильно

   $$x-2>8-x.$$

   Тогда

   $$2x>10,\quad x>5.$$

   С учётом области определения получаем

   $$x\in(5;8).$$

   Но такие решения не содержатся в интервале $$ (1;5). $$

2. Если $$0<a<1,$$ то логарифмическая функция убывает, и неравенство равносильно

   $$x-2<8-x.$$

   Тогда

   $$2x<10,\quad x<5.$$

   С учётом области определения получаем

   $$x\in(2;5).$$

   Все эти решения содержатся в интервале $$ (1;5). $$

Следовательно, требуемое условие выполняется только при

$$0<a<1.$$

Ответ

$$a\in(0;1).$$