Упр.11.46 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 11.46
а) Рассмотрим область допустимых значений:
$$ \begin{cases} 4-x>0,\\ 4-x\ne 1 \end{cases} \iff \begin{cases} x<4,\\ x\ne 3 \end{cases} $$
Значит, $$x\in(-\infty;3)\cup(3;4).$$
На этой области
$$ (4-x)^{\frac{1}{\log_{\cos 10^\circ}\sqrt{4-x}}} =(4-x)^{\frac{2}{\log_{\cos 10^\circ}(4-x)}} =(4-x)^{2\log_{4-x}\cos 10^\circ} =\cos^2 10^\circ. $$
Тогда неравенство принимает вид
$$ (4-x)^{x^2-9}-\sin^2 10^\circ<\cos^2 10^\circ $$
$$ (4-x)^{x^2-9}<1. $$
Рассмотрим два случая.
Если $$4-x>1,$$ то $$x<3.$$ Тогда
$$ (4-x)^{x^2-9}<1 \iff x^2-9<0 \iff -3<x<3. $$
С учётом $$x<3$$ получаем $$x\in(-3;3).$$
Если $$0<4-x<1,$$ то $$3<x<4.$$ Тогда
$$ (4-x)^{x^2-9}<1 \iff x^2-9>0 \iff x<-3 \text{ или } x>3. $$
С учётом $$3<x<4$$ получаем $$x\in(3;4).$$
Объединяя результаты, получаем:
$$ x\in(-3;3)\cup(3;4). $$
б) Найдём область допустимых значений:
$$ \begin{cases} 5-x>0,\\ 5-x\ne 1 \end{cases} \iff \begin{cases} x<5,\\ x\ne 4 \end{cases} $$
Значит, $$x\in(-\infty;4)\cup(4;5).$$
На этой области
$$ (5-x)^{\frac{1}{\log_{\sin 2002^\circ}\sqrt{5-x}}} =\sin^2 2002^\circ. $$
Тогда неравенство равносильно
$$ (5-x)^{x^2-4}-\cos^2 2002^\circ<\sin^2 2002^\circ $$
$$ (5-x)^{x^2-4}<1. $$
Рассмотрим два случая.
Если $$5-x>1,$$ то $$x<4.$$ Тогда
$$ (5-x)^{x^2-4}<1 \iff x^2-4<0 \iff -2<x<2. $$
Получаем $$x\in(-2;2).$$
Если $$0<5-x<1,$$ то $$4<x<5.$$ Тогда
$$ (5-x)^{x^2-4}<1 \iff x^2-4>0 \iff x<-2 \text{ или } x>2. $$
С учётом $$4<x<5$$ получаем $$x\in(4;5).$$
Следовательно,
$$ x\in(-2;2)\cup(4;5). $$
Ответ
а) $$x\in(-3;3)\cup(3;4)$$;
б) $$x\in(-2;2)\cup(4;5).$$
