Упр.11.45 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 11.45

Обозначим

$$t=\log_{\sqrt{x^2-2x-3}}\frac{x+4}{x+1}.$$

Тогда исходное неравенство можно переписать в виде

$$2+t>\log_{x^2-2x-3}(x^2-2x-2)^2.$$

Для существования логарифмов нужно:

$$x^2-2x-3>0,\quad x^2-2x-3\ne 1,\quad \frac{x+4}{x+1}>0,\quad x^2-2x-2\ne 0.$$

Отсюда

$$x\in(-\infty;-4)\cup(3;1+\sqrt5)\cup(1+\sqrt5;+\infty).$$

Преобразуем левую часть:

$$2+\log_{\sqrt{x^2-2x-3}}\frac{x+4}{x+1}=\log_{\sqrt{x^2-2x-3}}\left(\frac{x+4}{x+1}\right)^2,$$

а правую часть:

$$\log_{x^2-2x-3}(x^2-2x-2)^2=\log_{\sqrt{x^2-2x-3}}(x^2-2x-2).$$

Тогда неравенство равносильно

$$\log_{\sqrt{x^2-2x-3}}\left(\frac{x+4}{x+1}\right)^2>\log_{\sqrt{x^2-2x-3}}(x^2-2x-2).$$

Далее рассмотрим знак основания логарифма.

1) Если $$x\in(-\infty;-4)\cup(1+\sqrt5;+\infty),$$ то $$x^2-2x-3>1,$$ и логарифмическая функция возрастает. Поэтому

$$\left(\frac{x+4}{x+1}\right)^2>x^2-2x-2.$$

После преобразований получаем

$$x>\frac{10}{3}.$$

С учётом области рассмотрения:

$$x\in\left(\frac{10}{3};+\infty\right).$$

2) Если $$x\in(3;1+\sqrt5),$$ то $$0<x^2-2x-3<1,$$ и логарифмическая функция убывает. Тогда

$$\left(\frac{x+4}{x+1}\right)^2<x^2-2x-2.$$

Это даёт

$$x<\frac{10}{3}.$$

С учётом области рассмотрения:

$$x\in(3;1+\sqrt5).$$

Объединяя результаты, получаем

$$x\in(3;1+\sqrt5)\cup\left(\frac{10}{3};+\infty\right).$$

Ответ

$$x\in(3;1+\sqrt5)\cup\left(\frac{10}{3};+\infty\right).$$