Упр.11.44 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 11.44
а)
$$\log_x \frac{7x-2}{2-x} > 0,\quad x>0,\quad x\ne 1.$$
Для существования логарифма нужно
$$\frac{7x-2}{2-x} > 0.$$
Отсюда
$$x \in \left(\frac{2}{7};2\right).$$
С учётом условия $$x>0,\ x\ne 1$$ получаем
$$x \in \left(\frac{2}{7};1\right)\cup(1;2).$$На этом множестве
$$\log_x \frac{7x-2}{2-x}=\frac{\lg(7x-2)-\lg(2-x)}{\lg x}.$$Рассмотрим два случая.
1) Если $$x\in\left(\frac{2}{7};1\right),$$ то $$\lg x<0,$$ и после умножения на $$\lg x$$ знак неравенства меняется:
$$\lg(7x-2)-\lg(2-x)>0.$$
Тогда
$$\frac{7x-2}{2-x}>1,$$
$$7x-2>2-x,$$
$$8x>4,$$
$$x>\frac12.$$
С учётом $$x\in\left(\frac{2}{7};1\right)$$ получаем
$$x\in\left(\frac12;1\right).$$2) Если $$x\in(1;2),$$ то $$\lg x>0,$$ и знак неравенства сохраняется:
$$\lg(7x-2)-\lg(2-x)>0,$$
откуда снова
$$\frac{7x-2}{2-x}>1,$$
$$x>\frac12.$$
Это верно для всех $$x\in(1;2).$$Следовательно,
$$x\in\left(\frac12;1\right)\cup(1;2).$$б)
$$\log_x \frac{3x-1}{14x-5} > 0,\quad x>0,\quad x\ne 1.$$
Область определения:
$$\frac{3x-1}{14x-5}>0.$$
Отсюда
$$x\in\left(0;\frac{1}{3}\right)\cup\left(\frac{5}{14};+\infty\right).$$
С учётом $$x>0,\ x\ne 1$$:
$$x\in\left(0;\frac{1}{3}\right)\cup\left(\frac{5}{14};1\right)\cup(1;+\infty).$$На этом множестве
$$\log_x \frac{3x-1}{14x-5}=\frac{\lg(3x-1)-\lg(14x-5)}{\lg x}.$$Если $$x\in(0;1),$$ то $$\lg x<0,$$ поэтому
$$\lg(3x-1)-\lg(14x-5)<0,$$
то есть
$$\frac{3x-1}{14x-5}<1.$$
Тогда
$$3x-1<14x-5,$$
$$x>\frac{4}{11}.$$
Пересечение с областью определения даёт
$$x\in\left(\frac{5}{14};1\right).$$Если $$x>1,$$ то $$\lg x>0,$$ и нужно
$$\frac{3x-1}{14x-5}>1.$$
Но
$$3x-1>14x-5 \iff x<\frac{4}{11},$$
что невозможно при $$x>1.$$
Значит, решений здесь нет.Итак,
$$x\in\left(\frac{5}{14};1\right).$$в)
$$\log_x \frac{6x-1}{13x-7} > 0,\quad x>0,\quad x\ne 1.$$
Область определения:
$$\frac{6x-1}{13x-7}>0,$$
откуда
$$x\in\left(0;\frac16\right)\cup\left(\frac{7}{13};+\infty\right).$$
С учётом $$x>0,\ x\ne 1$$:
$$x\in\left(0;\frac16\right)\cup\left(\frac{7}{13};1\right)\cup(1;+\infty).$$На этом множестве
$$\log_x \frac{6x-1}{13x-7}=\frac{\lg(6x-1)-\lg(13x-7)}{\lg x}.$$При $$x\in(0;1)$$ имеем $$\lg x<0,$$ значит
$$\lg(6x-1)-\lg(13x-7)<0,$$
то есть
$$\frac{6x-1}{13x-7}<1.$$
Тогда
$$6x-1<13x-7,$$
$$7x>6,$$
$$x>\frac67.$$
С учётом области определения:
$$x\in\left(\frac{7}{13};\frac67\right).$$При $$x>1$$ имеем $$\lg x>0,$$ поэтому нужно
$$\frac{6x-1}{13x-7}>1,$$
но
$$6x-1>13x-7 \iff x<\frac67,$$
что невозможно при $$x>1.$$
Значит, решений здесь нет.Следовательно,
$$x\in\left(0;\frac16\right)\cup\left(\frac{7}{13};\frac67\right).$$г)
$$\log_x \frac{16x-11}{5x-1} > 0,\quad x>0,\quad x\ne 1.$$
Область определения:
$$\frac{16x-11}{5x-1}>0,$$
откуда
$$x\in\left(0;\frac15\right)\cup\left(\frac{11}{16};+\infty\right).$$
С учётом $$x>0,\ x\ne 1$$:
$$x\in\left(0;\frac15\right)\cup\left(\frac{11}{16};1\right)\cup(1;+\infty).$$На этом множестве
$$\log_x \frac{16x-11}{5x-1}=\frac{\lg(16x-11)-\lg(5x-1)}{\lg x}.$$Если $$x\in(0;1),$$ то $$\lg x<0,$$ и нужно
$$\lg(16x-11)-\lg(5x-1)<0,$$
то есть
$$\frac{16x-11}{5x-1}<1.$$
Тогда
$$16x-11<5x-1,$$
$$11x<10,$$
$$x<\frac{10}{11}.$$
С учётом области определения:
$$x\in\left(0;\frac15\right)\cup\left(\frac{11}{16};\frac{10}{11}\right).$$Если $$x>1,$$ то $$\lg x>0,$$ и нужно
$$\frac{16x-11}{5x-1}>1,$$
то есть
$$16x-11>5x-1,$$
$$11x>10,$$
что верно при всех $$x>1.$$
Значит, $$x\in(1;+\infty).$$Итак,
$$x\in\left(0;\frac15\right)\cup\left(\frac{11}{16};\frac{10}{11}\right)\cup(1;+\infty).$$
Ответ
а) $$\left(\frac12;1\right)\cup(1;2)$$;
б) $$\left(\frac{5}{14};1\right)$$;
в) $$\left(0;\frac16\right)\cup\left(\frac{7}{13};\frac67\right)$$;
г) $$\left(0;\frac15\right)\cup\left(\frac{11}{16};\frac{10}{11}\right)\cup(1;+\infty)$$.
