Упр.11.43 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 11.43

Подробный ответ

Обозначим область, где определены обе дроби:

$$ \sqrt{2x}+|\cos x|>0,\qquad \sqrt{x^2+1}+|\cos x|>0. $$
Так как $$\sqrt{x^2+1}>0$$ при всех $$x$$, а $$\sqrt{2x}$$ определён только при $$x\ge 0$$, то все решения лежат на множестве $$M=[0;+\infty).$$

На этом множестве можно умножить обе части неравенства на положительную функцию

$$ \varphi(x)=\bigl(\sqrt{2x}+|\cos x|\bigr)\bigl(\sqrt{x^2+1}+|\cos x|\bigr). $$

Получаем равносильное неравенство:

$$ \bigl(\sqrt{x^2+1}-|\cos x|\bigr)\bigl(\sqrt{2x}+|\cos x|\bigr) > \bigl(\sqrt{2x}-|\cos x|\bigr)\bigl(\sqrt{x^2+1}+|\cos x|\bigr). $$

После раскрытия скобок и сокращения одинаковых слагаемых имеем:

$$ x^2+1-\cos^2 x>2x-\cos^2 x. $$

Отсюда

$$ x^2-2x+1>0, $$
то есть

$$ (x-1)^2>0. $$

Это неравенство верно при всех $$x$$, кроме $$x=1$$. С учётом области определения $$x\ge 0$$ получаем:

$$ x\in[0;+\infty),\quad x\ne 1. $$

Значит,