Упр.11.42 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

б) 2lg(x+3) < lg(x+5).

1. а) Область определения: $$x-1>0,\quad x+1>0,$$ значит $$x>1.$$

   Так как логарифм по основанию $$10$$ возрастает, получаем:

   $$2\lg(x-1)<\lg(x+1)$$

   $$\lg\bigl((x-1)^2\bigr)<\lg(x+1)$$

   $$ (x-1)^2<x+1.$$

   Решим неравенство:

   $$x^2-2x+1<x+1$$

   $$x^2-3x<0$$

   $$x(x-3)<0.$$

   С учётом $$x>1$$ получаем:

   $$x\in(1;3).$$

2. б) Область определения: $$x+3>0,\quad x+5>0,$$ значит $$x>-3.$$

   Преобразуем неравенство:

   $$2\lg(x+3)<\lg(x+5)$$

   $$\lg\bigl((x+3)^2\bigr)<\lg(x+5)$$

   $$ (x+3)^2<x+5.$$

   Решим:

   $$x^2+6x+9<x+5$$

   $$x^2+5x+4<0$$

   $$ (x+1)(x+4)<0.$$

   Отсюда $$x\in(-4;-1).$$ С учётом области определения $$x>-3$$ получаем:

   $$x\in(-3;-1).$$

Ответ

а) $$x\in(1;3)$$; б) $$x\in(-3;-1)$$.