Упр.11.41 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 11.41

1. а)

   Рассмотрим систему:
   $$\begin{cases} 2x-11>0,\\ 3x-20>0. \end{cases}$$
   Отсюда
   $$x>\frac{11}{2}, \qquad x>\frac{20}{3}.$$
   Значит, все решения лежат на множестве
   $$M=\left(\frac{20}{3};+\infty\right).$$
   На этом множестве оба знаменателя положительны, поэтому
   $$\frac{1}{2x-11}<\frac{1}{3x-20} \iff 3x-20<2x-11.$$
   Тогда
   $$x<9.$$
   Совмещая с областью допустимых значений, получаем
   $$x\in\left(\frac{20}{3};9\right).$$

2. б)

   Рассмотрим систему:
   $$\begin{cases} 4x-7>0,\\ 5x-14>0. \end{cases}$$
   Тогда
   $$x>\frac{7}{4}, \qquad x>\frac{14}{5},$$
   значит,
   $$M=\left(\frac{14}{5};+\infty\right).$$
   На этом множестве
   $$\frac{1}{4x-7}>\frac{1}{5x-14} \iff 5x-14<4x-7.$$
   Получаем
   $$x<7.$$
   Но вместе с ОДЗ это даёт систему
   $$\begin{cases} x<7,\\ x>\frac{14}{5}. \end{cases}$$
   Следовательно,
   $$x\in\left(\frac{14}{5};7\right).$$

3. в)

   Рассмотрим систему:
   $$\begin{cases} 4x-17>0,\\ 5x-40>0. \end{cases}$$
   Тогда
   $$x>\frac{17}{4}, \qquad x>8,$$
   значит,
   $$M=(8;+\infty).$$
   На этом множестве
   $$\frac{1}{4x-17}<\frac{1}{5x-40} \iff 5x-40<4x-17.$$
   Получаем
   $$x<23.$$
   Совмещая с ОДЗ, имеем
   $$x\in(8;23).$$

4. г)

   Рассмотрим систему:
   $$\begin{cases} 3x-22>0,\\ 4x-13>0. \end{cases}$$
   Тогда
   $$x>\frac{22}{3}, \qquad x>\frac{13}{4},$$
   значит,
   $$M=\left(\frac{22}{3};+\infty\right).$$
   На этом множестве
   $$\frac{1}{3x-22}<\frac{1}{4x-13} \iff 4x-13<3x-22.$$
   Отсюда
   $$x<-9.$$
   Это не пересекается с ОДЗ, поэтому решений нет.

Ответ

а) $$x\in\left(\frac{20}{3};9\right)$$;
б) $$x\in\left(\frac{14}{5};7\right)$$;
в) $$x\in(8;23)$$;
г) решений нет.