Упр.11.39 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
б) корень (x+3) * корень (x+6) < x+4;
в) корень (2x+3) * корень (3x+7) > 2x+4;
г) корень (2x-1) * корень (3x-2) < 4x-3.
а) Область определения: $$x \ge -3.$$
На этой области $$\sqrt{x+3}\sqrt{x+8} \ge 0$$ и $$2x+4 \ge 0$$ при $$x \ge -2.$$
Для $$x \ge -2$$ возведём неравенство в квадрат:
$$ \begin{aligned} \sqrt{x+3}\sqrt{x+8} > 2x+4 \\ (x+3)(x+8) > (2x+4)^2 \\ x^2+11x+24 > 4x^2+16x+16 \\ 3x^2+5x-8 < 0 \\ (x+8/3)(x-1) < 0 \end{aligned} $$
Отсюда $$x \in \left(-\frac{8}{3};1\right).$$ С учётом $$x \ge -2$$ получаем $$x \in [-2;1).$$
Если $$-3 \le x < -2,$$ то $$2x+4 < 0,$$ а левая часть неотрицательна, значит неравенство выполняется.
Итак, $$x \in [-3;1).$$
б) Область определения: $$x \ge -3.$$
На этой области $$x+4>0,$$ поэтому можно возвести неравенство в квадрат:
$$ \begin{aligned} \sqrt{x+3}\sqrt{x+6} < x+4 \\ (x+3)(x+6) < (x+4)^2 \\ x^2+9x+18 < x^2+8x+16 \\ x < -2 \end{aligned} $$
С учётом области определения получаем $$x \in [-3;-2).$$
в) Область определения: $$x \ge -\frac{3}{2}.$$
На этой области $$2x+4>0,$$ поэтому возводим в квадрат:
$$ \begin{aligned} \sqrt{2x+3}\sqrt{3x+7} > 2x+4 \\ (2x+3)(3x+7) > (2x+4)^2 \\ 6x^2+23x+21 > 4x^2+16x+16 \\ 2x^2+7x+5 > 0 \\ (2x+5)(x+1) > 0 \end{aligned} $$
Отсюда $$x \in (-\infty;-5/2)\cup(-1;+\infty).$$ С учётом области определения:
$$x \in \left[-\frac{3}{2};-1\right)\cup(-1;+\infty).$$
г) Область определения: $$x \ge \frac{2}{3}.$$
На этой области $$4x-3$$ меняет знак в точке $$x=\frac{3}{4}.$$
Если $$\frac{2}{3} \le x < \frac{3}{4},$$ то $$4x-3<0,$$ а левая часть неотрицательна, значит неравенство $$\sqrt{2x-1}\sqrt{3x-2} < 4x-3$$ решений не имеет.
Если $$x \ge \frac{3}{4},$$ то можно возвести неравенство в квадрат:
$$ \begin{aligned} \sqrt{2x-1}\sqrt{3x-2} < 4x-3 \\ (2x-1)(3x-2) < (4x-3)^2 \\ 6x^2-7x+2 < 16x^2-24x+9 \\ 10x^2-17x+7 > 0 \\ (10x-7)(x-1) > 0 \end{aligned} $$
Отсюда $$x \in (-\infty;7/10)\cup(1;+\infty).$$ С учётом $$x \ge \frac{3}{4}$$ получаем $$x \in (1;+\infty).$$
Итак, для пункта г) $$x \in (1;+\infty).$$
Ответ
а) $$x \in [-3;1)$$; б) $$x \in [-3;-2)$$; в) $$x \in \left[-\frac{3}{2};-1\right)\cup(-1;+\infty)$$; г) $$x \in (1;+\infty).$$
