Упр.11.38 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 11.38

а) На множестве $$M = (-\infty;-2)\cup(-2;2)\cup(2;+\infty)$$ имеем $$|x^2-4|>0.$$

Умножим неравенство на $$|x^2-4|$$:

$$|x^2-5x+4|<|x^2-4|.$$

Возведём обе части в квадрат:

$$ (x^2-5x+4)^2<(x^2-4)^2 $$

Разложим на множители:

$$ (x-1)^2(x-4)^2<(x^2-4)^2 $$

$$ (x^2-2x+1)(x^2-8x+16)

$$ x^4-10x^3+41x^2-40x+16

$$ -10x^3+49x^2-40x<0 $$

$$ 10x^3-49x^2+40x>0 $$

$$ x(10x^2-49x+40)>0 $$

Корни квадратного трёхчлена:

$$ 10x^2-49x+40=0,\qquad D=49^2-4\cdot10\cdot40=441, $$

$$ x_{1,2}=\frac{49\pm21}{20},\quad x_1=\frac75,\quad x_2=4. $$

Тогда

$$ x(10x^2-49x+40)>0 $$

выполняется при

$$ x\in(0;\tfrac75)\cup(4;+\infty). $$

С учётом области $$M$$ получаем:

$$ x\in(0;\tfrac75)\cup(4;+\infty). $$

б) На множестве $$M = (-\infty;-3)\cup(-3;3)\cup(3;+\infty)$$ имеем $$|x^2-9|>0.$$

Умножим неравенство на $$|x^2-9|$$:

$$|x^2-10x+9|>|x^2-9|.$$

Возведём обе части в квадрат:

$$ (x^2-10x+9)^2>(x^2-9)^2 $$

Разложим на множители:

$$ (x-1)^2(x-9)^2>(x^2-9)^2 $$

$$ (x^2-2x+1)(x^2-18x+81)>x^4-18x^2+81 $$

$$ x^4-20x^3+136x^2-180x+81>x^4-18x^2+81 $$

$$ -20x^3+154x^2-180x>0 $$

$$ 10x^3-77x^2+90x<0 $$

$$ x(10x^2-77x+90)<0 $$

Корни квадратного трёхчлена:

$$ 10x^2-77x+90=0,\qquad D=77^2-4\cdot10\cdot90=1369, $$

$$ x_{1,2}=\frac{77\pm37}{20},\quad x_1=2,\quad x_2=\frac{57}{10}. $$

Тогда

$$ x(10x^2-77x+90)<0 $$

выполняется при

$$ x\in(-\infty;0)\cup(2;\tfrac{57}{10}). $$

С учётом области $$M$$ получаем:

$$ x\in(-3;0)\cup(3;\tfrac{57}{10}). $$

Ответ

а) $$x\in(0;\tfrac75)\cup(4;+\infty)$$

б) $$x\in(-3;0)\cup(3;\tfrac{57}{10})$$